Question

如圖，已知正方形ABCD，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，點(diǎn)F是CD延長線上一點(diǎn)，連接EF，若BE=DF，點(diǎn)P是EF的中點(diǎn)．

（1）求證：DP平分∠ADC；

（2）若∠CEF=75°，CF=，求△AEF的面積．

 

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）2.

【解析】

試題分析：（1）連接PC．根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得PC=EF=PA．運(yùn)用“SSS”證明△APD≌△CPD，得∠ADP=∠CDP；

（2）作PH⊥CF于H點(diǎn)．分別求DF和PH的長，再計(jì)算面積．設(shè)DF=x，在Rt△EFC中，∠CEF=60°，運(yùn)用勾股定理可求DF；根據(jù)三角形中位線定理求PH．

試題解析：（1）證明：連接PC．

∵ABCD是正方形，

∴∠ABE=∠ADF=90°，AB=AD．

∵BE=DF，

∴△ABE≌△ADF（SAS），

∴∠BAE=∠DAF，AE=AF．

∴∠EAF=∠BAD=90°．

∵P是EF的中點(diǎn)，

∴PA=EF，PC=EF，

∴PA=PC．

又∵AD=CD，PD=PD（公共邊），

∴△PAD≌△PCD，（SSS）

∴∠ADP=∠CDP，即DP平分∠ADC；

（2）由（1）知△EAF是等腰直角三角形，

∴∠AEF=45°，

∴∠AEB=180°﹣45°﹣75°=60°，

∵設(shè)BE=x．

∴，．

又，

則.

解之，得

∴

∴

考點(diǎn)：1.正方形的性質(zhì)；2.三角形的面積；3.全等三角形的判定與性質(zhì)；4.勾股定理．