Question

已知：如圖，在以點O為圓心的兩個同心圓中，大圓的半徑OA與小圓相交于點B，AC與小圓相切于點C，OC的延長線與大圓相交于點D，AC與BD相交于點E．
求證：（1）BD是小圓的切線；
      （2）CE：AE=OC：OD．

Answer 1

證明：（1）∵AC與小圓O相切于點C，
∴∠ACO=90°；
∵OD=OA，OB=OC，∠O=∠O，
∴△DOB≌△AOC，
∴∠DBO=∠ACO=90°，
∵OB是小圓的半徑，
∴BD是小圓的切線；

（2）∵△AOC≌△DOB，
∴∠A=∠D；
又∵∠EBA=∠DBO=90°，
∴△ABE∽△DBO，∴BE：AE=OB：OD；
∵EB、EC與小圓分別相切于B、C，
∴CE=BE；
又∵OC=OB，
∴CE：AE=OC：OD．

分析：

（1）欲證BD是小圓的切線，只需證明∠OBD=90°（或BD⊥OB）即可；
（2）由（1）中全等三角形△AOC≌△DOB的性質(zhì)、切線BD的性質(zhì)推知△ABE∽△DBO；然后根據(jù)相似三角形的對應邊成比例求得BE：AE=OB：OD；由小圓的兩條切線CE=BE，小圓的半徑OC=OB可以證得結(jié)論．
點評：本題考查了切線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)．注意，切線性質(zhì)是：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的“半徑”．