Question

15．如圖，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，矩形OABC的頂點A（$\sqrt{3}$，0），C（0，1），∠OAC=30°，將△AOC沿AC翻折得△APC．
（1）求點P的坐標；
（2）若拋物線y=-$\frac{4}{3}$x²+bx+c經過P、A兩點，試判斷點C是否在該拋物線上，并說明理由；
（3）設（2）中的拋物線與矩形0ABC的邊BC交于點D，與x交于另一點E，點M在x軸上運動，N在y軸上運動，若以點E、M、D、N為頂點的四邊形是平行四邊形，試求點M、N的坐標．

Answer 1

分析 （1）利用翻折變換的性質得出OA=AP=$\sqrt{3}$，∠PAC=∠OAC=30°，則∠PAO=60°．過P作PQ⊥OA于Q，解Rt△PAQ，求出AQ、PQ的長，進而可得到點P的坐標；
（2）將P、A兩點的坐標代入拋物線的解析式中，得到b、c的值，從而確定拋物線的解析式，然后將C點坐標代入拋物線的解析式中進行驗證即可；
（3）根據拋物線的解析式易求得D、E點的坐標，然后分兩種情況考慮：
①DE是平行四邊形的對角線，由于CD∥x軸，且C在y軸上，若過D作直線CE的平行線，那么此直線與x軸的交點即為M點，而N點即為C點，D、E的坐標已經求得，結合平行四邊形以及平移的性質即可得到點M的坐標，而C點坐標已知，即可得到N點的坐標；
②DE是平行四邊形的邊，由于A在x軸上，過A作DE的平行線，與y軸的交點即為N點，而M點即為A點；根據平行四邊形以及平移的性質即可得到N點的坐標；
同理，由于C在y軸上，且CD∥x軸，過C作DE的平行線，也可找到符合條件的M、N點，解法同上．

解答 解：（1）∵矩形OABC的頂點A（$\sqrt{3}$，0），C（0，1），
∴OA=$\sqrt{3}$，OC=1，∠AOC=90°，
∴∠OAC=30°．
∵將△AOC沿AC翻折得△APC，
∴OA=AP=$\sqrt{3}$，∠PAC=∠OAC=30°，
∴∠PAO=60°．
過P作PQ⊥OA于Q．
∵在Rt△PAQ中，∠PAQ=60°，AP=$\sqrt{3}$，
∴AQ=$\frac{1}{2}$AP=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，PQ=$\sqrt{3}$AQ=$\frac{3}{2}$，
∴OQ=OA-AQ=$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴P（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）；

（2）∵拋物線y=-$\frac{4}{3}$x²+bx+c經過P（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$），A（$\sqrt{3}$，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{4}{3}×（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}b+c=\frac{3}{2}}\\{-\frac{4}{3}×（\sqrt{3}）^{2}+\sqrt{3}b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\sqrt{3}}\\{c=1}\end{array}\right.$；
即y=-$\frac{4}{3}$x²+$\sqrt{3}$x+1；
∵當x=0時，y=1，
∴C（0，1）在該拋物線的圖象上；

（3）①若DE是平行四邊形的對角線，點C在y軸上，CD∥x軸，
過點D作DM∥CE交x軸于M，則四邊形EMDC為平行四邊形，EM=CD．
把y=1代入拋物線解析式得點D的坐標為（$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，1），
把y=0代入拋物線解析式得點E的坐標為（-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，0），
∵EM=CD=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴M（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0）；N點即為C點，坐標是（0，1）；

②若DE是平行四邊形的邊，
過點A作AN∥DE交y軸于N，四邊形DANE是平行四邊形，AN∥DE，AN=DE．
∵D（$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，1），E（-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，0），
∴D點向左平移$\sqrt{3}$個單位，再向下平移1個單位得到點E，
∴點A（$\sqrt{3}$，0）向左平移$\sqrt{3}$個單位，再向下平移1個單位得到點N，
∴N（0，-1），M點即為A點，M（$\sqrt{3}$，0）；
同理過點C作CM∥DE交y軸于N，四邊形CMED是平行四邊形，
∴M（-$\sqrt{3}$，0），N（0，1）．

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，其中涉及到矩形的性質、圖形的翻折變換、解直角三角形、二次函數(shù)解析式的確定、平行四邊形的判定和性質、平移的性質等知識，綜合性較強，難度適中．利用數(shù)形結合、分類討論是解題的關鍵．