Question

小明在學(xué)習(xí)“銳角三角函數(shù)”中發(fā)現(xiàn)，將如圖所示的矩形紙片ABCD沿一條過點(diǎn)B的直線BH折疊，使點(diǎn)C落在直線AB上，還原后，再沿過點(diǎn)B的直線BE折疊，使點(diǎn)C落在BH上，還原后這樣就可以求出67.5°角的正切值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）,解直角三角形

專題：

分析：根據(jù)矩形沿BH折疊，可得BCFH的形狀，∠1與∠2的關(guān)系，根據(jù)沿過點(diǎn)B的直線BE折疊，使點(diǎn)C落在BH上，可得CE與HE的關(guān)系，∠3與∠CBE的關(guān)系，根據(jù)角的和差，可得∠EBG的度數(shù)，根據(jù)勾股定理，可得BH與BC的關(guān)系，根據(jù)三角形的面積相等，可得CE與BC的關(guān)系，根據(jù)正切函數(shù)，可得答案．

解答：解：如圖

過E點(diǎn)作EG⊥BF，設(shè)BC=a，
矩形紙片ABCD沿一條過點(diǎn)B的直線BH折疊，使點(diǎn)C落在直線AB上，
∴∠1=∠2=45°，BCHF是正方形，
BH=

2

a．
再沿過點(diǎn)B的直線BE折疊，使點(diǎn)C落在BH上，
∴∠3=∠CBE=

1

2

∠2=22.5°，CE=HE．
由三角形面積的不同表示方法，得
S △BCH=

1

2

BC•CH=

1

2

a2，
S_△BCH=S_△BCE+S_△BEH=

1

2

a•CE+

1

2

×

2

a•CE，
CE=（

2

-1）a．
tan67.5°=tan∠EBG=

EG

BG

=

a

( 2 -1)a

=

2 +1

( 2 -1)( 2 +1)

=

2

+1，
故答案為：

2

+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了翻折變換，折疊得到的圖形是軸對(duì)稱圖形，對(duì)應(yīng)的角相等，對(duì)應(yīng)的邊相等．