Question

已知二次函數(shù)y=

1

2

x²+

3

2

x-2的圖象與y軸相交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），其對稱軸與x軸交于點(diǎn)D，連接AC．
（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為

 

，點(diǎn)A的坐標(biāo)為

 

；
（2）拋物線上是否存在點(diǎn)E，使得△EOA為等邊三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）點(diǎn)P為x軸下方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PC，記△PAC的面積為S，問S取何值時(shí)，相應(yīng)的點(diǎn)P有且只有2個(gè)？

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）拋物線的解析式中，令x=0可得二次函數(shù)與y軸交點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，令y=0可得二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
（2）若在x軸下方的拋物線上存在一點(diǎn)E，使△EOA為等邊三角形，先由OA=4，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-2，-2

3

），再將x=-2代入y=

1

2

x²+

3

2

x-2，求出y的值，即可判斷點(diǎn)E是否在拋物線上；
（3）過點(diǎn)B、點(diǎn)O分別作AC的平行線，記為l₁，l₂，與AC平行且與拋物線y=

1

2

x²+

3

2

x-2只有一個(gè)交點(diǎn)的直線記為l₃，設(shè)此唯一交點(diǎn)為T．利用待定系數(shù)法求得直線AC的解析式為y=-

1

2

x-2，直線l₃的解析式為y=-

1

2

x-4．設(shè)直線l₃與y軸的交點(diǎn)為H，直線l₂與拋物線在x軸下方的交點(diǎn)為N，則H（0，-4）．作CM⊥直線l₃于點(diǎn)M，得出△CMH∽△AOC，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得到

CM

CH

=

AO

AC

，求出CM=

4 5

5

，即直線l₃與AC之間的距離為

4 5

5

．由CH=CO=2，得出直線l₂與AC之間的距離也是

4 5

5

，根據(jù)三角形的面積公式求出S_△TAC=S_△NAC=

1

2

×2

5

×

4 5

5

=4，則S=4時(shí)，相應(yīng)的點(diǎn)P有且只有2個(gè)，就是點(diǎn)T和點(diǎn)N．在直線l₂與直線l₃之間，S的值對應(yīng)的點(diǎn)P有三個(gè)；在直線l₁與直線l₂之間，S的值對應(yīng)的點(diǎn)P只有一個(gè)．

解答：解：（1）∵y=

1

2

x²+

3

2

x-2，
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=-2，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-2）．
當(dāng)y=0時(shí)，

1

2

x²+

3

2

x-2=0，
即：x²+3x-4=0，
解得x=-4和x=1，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）．
故答案為（0，-2），（-4，0）；

（2）若在x軸下方的拋物線上存在一點(diǎn)E，使△EOA為等邊三角形，則因?yàn)镺A=4，所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-2，-2

3

），
但當(dāng)x=-2時(shí)，y=

1

2

×（-2）²+

3

2

×（-2）-2=-3≠-2

3

，所以點(diǎn)E不在拋物線上，
所以不存在符合要求的點(diǎn)E；

（3）過點(diǎn)B、點(diǎn)O分別作AC的平行線，記為l₁，l₂，與AC平行且與拋物線y=

1

2

x²+

3

2

x-2只有一個(gè)交點(diǎn)的直線記為l₃，設(shè)此唯一交點(diǎn)為T．
可求得直線AC的解析式為y=-

1

2

x-2，
直線l₃的解析式為y=-

1

2

x-4．
設(shè)直線l₃與y軸的交點(diǎn)為H，直線l₂與拋物線在x軸下方的交點(diǎn)為N，則H（0，-4）．
作CM⊥直線l₃于點(diǎn)M，則△CMH∽△AOC，
∴

CM

CH

=

AO

AC

，即

CM

2

=

4

2 5

，CM=

4 5

5

，
∴直線l₃與AC之間的距離為

4 5

5

．
∵CH=CO=2，
∴直線l₂與AC之間的距離也是

4 5

5

，
∴S_△TAC=S_△NAC=

1

2

×2

5

×

4 5

5

=4，
∴S=4時(shí)，相應(yīng)的點(diǎn)P有且只有2個(gè)，就是點(diǎn)T和點(diǎn)N．
在直線l₂與直線l₃之間，對于每一條與AC平行的直線l，在AC的另一側(cè)，有且只有一條直線l′，使得l′∥AC∥l，且這三條平行線之間的距離相等，直線l與l′與拋物線共有三個(gè)交點(diǎn)，這三個(gè)點(diǎn)分別與AC構(gòu)成的三角形面積相等，即此時(shí)S的值對應(yīng)的點(diǎn)P有三個(gè)．
在直線l₁與直線l₂之間，平行于AC的直線與拋物線在x軸下方只有一個(gè)交點(diǎn)，所以此時(shí)S的值對應(yīng)的點(diǎn)P只有一個(gè)．
故只有當(dāng)S=4時(shí)，相應(yīng)的點(diǎn)P有且只有2個(gè)．

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積等知識，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．理解題意、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．