Question

16．如圖，在△ABC中，∠B=75°，∠C=45°，BC=6-2$\sqrt{3}$，點(diǎn)P是BC上一動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AB于E，PD⊥AC于D．無論P(yáng)的位置如何變化，線段DE的最小值為（　　）

• A． 3$\sqrt{3}$-3
• B． $\sqrt{3}$
• C． 4$\sqrt{3}$-6
• D． 2

Answer 1

分析 下面介紹兩種解法：
解法一：當(dāng)AP⊥BC時(shí)，線段DE的值最小，利用四點(diǎn)共圓的判定可得：A、E、P、D四點(diǎn)共圓，且直徑為AP，得出∠AED=∠C=45°，有一公共角，根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等兩三角形相似得△AED∽△ACB，則$\frac{AE}{AC}=\frac{ED}{BC}$，設(shè)AD=2x，表示出AE和AC的長，求出AE與AC的比，代入比例式中，可求出DE的值．
解法二：先通過四點(diǎn)共圓同理得到：△EFD為頂角為120°的等腰三角形，所以當(dāng)AP⊥BC時(shí)，線段DE的值最小，
再作輔助線，求AP的長，從而得EF的長，由等腰三角形三線合一及勾股定理得DE的值．

解答 解：解法一：當(dāng)AP⊥BC時(shí)，線段DE的值最小，
如圖1，∵PE⊥AB，PD⊥AC，
∴∠AEP=∠ADP=90°，
∴∠AEP+∠ADP=180°，
∴A、E、P、D四點(diǎn)共圓，且直徑為AP，
在Rt△PDC中，∠C=45°，
∴△PDC是等腰直角三角形，∠APD=45°，
∴△APD也是等腰直角三角形，
∴∠PAD=45°，
∴∠PED=∠PAD=45°，
∴∠AED=45°，
∴∠AED=∠C=45°，
∵∠EAD=∠CAB，
∴△AED∽△ACB，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{ED}{BC}$，
設(shè)AD=2x，則PD=DC=2x，AP=2$\sqrt{2}$x，
如圖2，取AP的中點(diǎn)O，連接EO，則AO=OE=OP=$\sqrt{2}$x，
∵∠EAP=∠BAC-∠PAD=60°-45°=15°，
∴∠EOP=2∠EAO=30°，
過E作EM⊥AP于M，則EM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
cos30°=$\frac{OM}{OE}$，
∴OM=$\sqrt{2}$x•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$x，
∴AM=$\sqrt{2}$x+$\frac{\sqrt{6}}{2}$x=$\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$x，
由勾股定理得：AE=$\sqrt{A{M}^{2}+E{M}^{2}}$，
=$\sqrt{（\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}x）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}x）^{2}}$，
=（$\sqrt{3}$+1）x，
∴$\frac{（\sqrt{3}+1）x}{4x}$=$\frac{ED}{6-2\sqrt{3}}$，
∴ED=$\sqrt{3}$．
則線段DE的最小值為$\sqrt{3}$；
解法二：如圖3，取AP的中點(diǎn)F，連接EF、DF，有EF=DF=$\frac{1}{2}$AP，
∠EFD=120°，
∴△EFD為頂角為120°的等腰三角形，
∴當(dāng)AP⊥BC時(shí)，線段DE的值最小，
如圖4，作AB的中垂線，交AP于一點(diǎn)O，交AB于G，連接OB，
設(shè)OA=OB=2x，
∵∠BOP=2∠BAO=30°，
∴BP=x，OP=$\sqrt{3}$x，
∴AP=PC=（2+$\sqrt{3}$）x，
∵BC=6-2$\sqrt{3}$，
∴x+2x+$\sqrt{3}$x=6-2$\sqrt{3}$，
x=4-2$\sqrt{3}$，
∴AP=（2+$\sqrt{3}$）x=（2+$\sqrt{3}$）（4-2$\sqrt{3}$）=2，
∴EF=FD=1，
如圖5，過F作FH⊥ED于H，
∴EH=DH，
∵∠FED=30°，
∴FH=$\frac{1}{2}$，
∴EH=DH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴DE=$\sqrt{3}$；
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了四點(diǎn)共圓的問題，四點(diǎn)共圓的判定方法有：①將四點(diǎn)連成一個(gè)四邊形，若對(duì)角互補(bǔ)，那么這四點(diǎn)共圓．②連接對(duì)角線，若這個(gè)四邊形的一邊同側(cè)的兩個(gè)頂角相等，那么這四點(diǎn)共圓；通過四點(diǎn)共圓可以利用同弧所對(duì)的圓周角得出角相等，從而證得三角形相似，得比例式，使問題得以解決．