Question

如圖，已知在半徑為2的⊙O中有一點E，過點E的弦AB與CD互相垂直，且OE=1，則AB²+CD²的值等于

 

．

Answer 1

分析：作輔助線“連接AO，DO，作OM⊥CD于點M，作ON⊥AB于點N”構造矩形ENOM，然后利用勾股定理和垂徑定理推知，OM²=DO²-DM²=4-(

DC

2

)2、ON²=OA²-AN²=4-(

AB

2

)2，所以OM²+ON²=4-(

AB

2

)2+4-(

DC

2

)2=1，由此解得AB²+CD²=28．

解答：解：連接AO，DO，作OM⊥CD于點M，作ON⊥AB于點N，
∵DC⊥AB，OM⊥DC，ON⊥AB，
∴四邊形OMEN為矩形；
∵OM²+ME²=OE²（勾股定理），
又∵ME²=ON²
∴OM²+ON²=OE²；
∵OM²=DO²-DM²=4-(

DC

2

)2；
又∵ON²=OA²-AN²=4-(

AB

2

)2，
∴OM²+ON²=4-(

AB

2

)2+4-(

DC

2

)2=1，
∴AB²+CD²=28；
故答案是：28．

點評：本題主要考查了的是垂徑定理和勾股定理．解得該題的關鍵是通過作輔助線構建矩形OMEN，利用勾股定理、矩形的性質以及垂徑定理將 AB²+CD²聯系在同一個等式中，然后根據代數知識求解．