Question

14．已知等腰直角三角形ABC和線段AD，將線段AD逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，連接DE、DC，點(diǎn)P是線段CD的中點(diǎn)．

（1）若點(diǎn)D在線段BC上，點(diǎn)Q是線段DE的中點(diǎn)，連接PQ．
①在圖1中補(bǔ)全圖形；
②寫出線段PQ與線段BD的關(guān)系，并證明．
（2）如圖2，連接BE，寫出線段AP與BE的關(guān)系，并證明．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)題意畫出圖形即可；
②結(jié)論：BD=2PQ，PQ⊥BD，只要證明△BAD≌△CAE，再利用三角形中位線定理即可證明．
（2）結(jié)論：BE=2AP，BE⊥PA，延長AP到M使得PM=AP，連接CM，只要證明△APD≌△MPC，△BAE≌△ACM即可解決問題．

解答 解：（1）①見圖1．
②結(jié)論：BD=2PQ，PQ⊥BD．
理由：∵∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE=45°，
∴∠BCE=90°，
∴PQ⊥BD，
∵DQ=QE，DP=PC，
∴EC=2PQ，
∴BD=2PQ．
（2）結(jié)論：BE=2AP，BE⊥PA，
理由：如圖2中，延長AP到M使得PM=AP，連接CM，
在△APD和△MPC中，
$\left\{\begin{array}{l}{PA=CM}\\{∠APD=∠MPC}\\{PD=CP}\end{array}\right.$，
∴△APD≌△MPC，
∴CM=AD=AE，∠DAP=∠M，
∴AD∥CM，
∴∠DAC+∠ACM=180°，
∵∠BAE+∠CAD=180°，
∴∠BAE=∠ACM，
在△BAE和△ACM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠ACM}\\{AE=CM}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△ACM，
∴BE=AM，∠ABE=∠CAM，
∴BE=2AP，
∵∠ABE+∠AHB=90°，
∴∠CAM+∠AHO=90°，
∴∠AOH=90°，
∴BE⊥AP．

點(diǎn)評 本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形中位線定理等知識，解題的關(guān)鍵是尋找正確全等三角形，屬于中考�？碱}型．