Question

已知：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥BC，CE∥AD．如果AC=2，CE=4．
（1）求證：四邊形ACED是平行四邊形；
（2）求四邊形ACEB的周長(zhǎng)；
（3）直接寫出CE和AD之間的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）首先證明AC∥DE，再加上CE∥AD可根據(jù)兩組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形可證明四邊形ACED是平行四邊形；
（2）首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得DE=AC=2，再根據(jù)勾股定理計(jì)算出CD長(zhǎng)，然后可得CB長(zhǎng)，再利用勾股定理計(jì)算出AB長(zhǎng)，進(jìn)而可得四邊形ACEB的周長(zhǎng)；
（3）過(guò)D作DF⊥CE，根據(jù)三角形的面積公式可得CD•DE=CE•DF，再代入相應(yīng)數(shù)據(jù)可得答案．

解答：（1）證明：∵∠ACB=90°，DE⊥BC，
∴AC∥DE．
又∵CE∥AD，
∴四邊形ACED是平行四邊形．

（2）解：∵四邊形ACED的是平行四邊形，
∴DE=AC=2．
在Rt△CDE中，∵∠CDE=90°，
由勾股定理CD=

CE2-DE2

=2

3

．
∵D是BC的中點(diǎn)，
∴BC=2CD=4

3

．
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，
由勾股定理AB=

AC2+BC2

=2

13

．
∵D是BC的中點(diǎn)，DE⊥BC，
∴EB=EC=4．
∴四邊形ACEB的周長(zhǎng)=AC+CE+EB+BA=10+2

13

．

（3）解：過(guò)D作DF⊥CE，
∵CD•DE=CE•DF，
∴2

3

×2=4×DF，
DF=

3

，
∴CE和AD之間的距離是

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，以及勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；平行四邊形對(duì)邊平行且相等．