Question

下列命題：如圖，正方形ABCD中，E、F分別為AB、AD上的點(diǎn)，AF=BE，CE、BF交于H，BF交AC于M，O為AC的中點(diǎn)，OB交CE于N，連OH．下列結(jié)論中：①BF⊥CE；②OM=ON；③OH=

1

2

CN；④

2

OH+BH=CH．其中正確的命題有（　�。�

A．只有①②

B．只有①②④

C．只有①④

D．①②③④

Answer 1

∵AF=BE，AB=BC，∠ABC=∠BAD=90°，
∴△ABF≌△BEC，
∴∠BCE=∠ABF，∠BFA=∠BEC，
∴△BEH∽△ABF，
∴∠BAF=∠BHE=90°，
即BF⊥EC，①正確；

∵四邊形是正方形，
∴BO⊥AC，BO=OC，
由題意正方形中角ABO=角BCO，在上面所證∠BCE=∠ABF，
∴∠ECO=∠FBO，
∴△OBM≌△ONC，
∴ON=OM，
即②正確；

③∵△OBM≌△ONC，
∴BM=CN，
只有當(dāng)H為BM的中點(diǎn)是，OH等于CN的一半，故③錯(cuò)誤；

④過(guò)O點(diǎn)作OG垂直于OH，OG交CH與G點(diǎn)，
在△OGC與△OHB中，

∠OCN=∠OBH OC=OB ∠HON=∠GOC

，
故△OGC≌△OHB，
∵OH⊥OG，
∴△OHG是等腰直角三角形，
按照前述作輔助線之后，OHG是等腰直角三角形，OH乘以根2之后等于HG，
則在證明證明三角形OGC與三角形OHB全等之后，CG=BH，
所以④式成立．
綜上所述，①②④正確．
故選B．