Question

雙曲線y₁=

k

x

和y₂=

3k

x

（k＞0）在第一象限的圖象如圖所示，過y₂上的任意一點(diǎn)A作x軸的平行線交y₁于B，交y軸于C，過A作x軸的垂線交y₁于D，交x軸于E，連結(jié)BD，CE，則有下列結(jié)論：
①BD∥CE；                
②S_{四邊形ABOD}=2k；
③S_△ABD：S_{四邊形BDEC}=4：5；  
④CB=DE；
⑤S_△ABD：S_BOD=1：2
其中正確的有

 

（填番號(hào)）．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（a，0），根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到點(diǎn)D的坐標(biāo)為（a，

k

a

），A點(diǎn)坐標(biāo)為（a，

3k

a

），則AD=

2k

a

，AE=

3k

a

，所以AD：AE=2：3；再利用a表示C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，

3k

a

），B點(diǎn)坐標(biāo)為（

a

3

，

3k

a

），則AB=

2a

3

，AC=a，則AB：AC=2：3，即AD：AE=AB：AC，可證出△BAD∽△CAE，所以∠ABD=∠ACE，利用平行線的判定即可得到BD∥CE；利用S_{四邊形ABOD}=S_矩形AEOC-S_△BOC-S_△DOE和反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義可計(jì)算出S_{四邊形ABOD}=2k；利用相似三角形的性質(zhì)由△BAD∽△CAE，得到S_△ABD：S_△ACD=AD²：AE²=4：9，則運(yùn)用比例的性質(zhì)可得S_△ABD：S_{四邊形BDEC}=4：5；由于BC=

a

3

，DE=

k

a

，則可判斷BC與DE不一定相等；計(jì)算出S_△ABD=

1

2

AB•AD=

2k

3

，而S_{四邊形ABOD}=2k，則可計(jì)算出S_△ABD：S_BOD=1：2．

解答：解：設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（a，0），
∵點(diǎn)D在雙曲線y₁=

k

x

上，點(diǎn)A在y₂=

3k

x

的圖象上，AE⊥x軸，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（a，

k

a

），A點(diǎn)坐標(biāo)為（a，

3k

a

），
∴AD=

3k

a

-

k

a

=

2k

a

，AE=

3k

a

，
∴AD：AE=2：3，
∵AC⊥y軸，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，

3k

a

），B點(diǎn)坐標(biāo)為（

a

3

，

3k

a

），
∴AB=a-

a

3

=

2a

3

，AC=a，
∴AB：AC=2：3，
∴AD：AE=AB：AC，
而∠BAD=∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，
∴BD∥CE，所以①正確；
S_{四邊形ABOD}=S_矩形AEOC-S_△BOC-S_△DOE=3k-

1

2

k-

1

2

k=2k，所以②正確；
∵△BAD∽△CAE，
∴S_△ABD：S_△ACD=AD²：AE²=4：9，
S_△ABD：S_{四邊形BDEC}=4：5，所以③正確；
∵BC=

a

3

，DE=

k

a

，
∴BC與DE不一定相等，所以④錯(cuò)誤；
∵S_△ABD=

1

2

AB•AD=

1

2

•

2a

3

•

2k

a

=

2k

3

，
而S_{四邊形ABOD}=2k，
∴S_△ABD：S_BOD=

2k

3

：（2k-

2k

3

）=1：2，所以⑤正確．
故答案為①②③⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；會(huì)運(yùn)用三角形相似的性質(zhì)解決角相等的問題和有關(guān)面積的計(jì)算．