Question

11．如圖，⊙O的直徑AB=2，P是上半圓（A、B除外）上任一點，∠APB的平分線交⊙O于C，弦EF過AC、BC的中點M、N，則EF的長是$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由于PC平分∠APB，易得$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$，如果連接OC交EF于D，根據(jù)垂徑定理可知：OC必垂直平分EF．進(jìn)一步由M、N是AC、BC的中點，因此MN是△ABC的中位線，根據(jù)平行線分線段成比例定理可得：OD=CD=$\frac{1}{2}$OC=1．連接OE，可在Rt△OED中求出ED的長，即可得出EF的值．

解答 解：如圖，

∵PC是∠APB的角平分線，
∴∠APC=∠CPB，
∴弧AC=弧BC；
∴AC=BC；
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°．
即△ABC是等腰直角三角形．
連接OC，交EF于點D，則OC⊥AB；
∵M(jìn)、N是AC、BC的中點，
∴MN∥AB；
∴OC⊥EF，OD=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{1}{2}$．
連接OE，根據(jù)勾股定理，得：DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，EF=2ED=$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點評 此題考查圓周角定理，垂徑定理，三角形的中位線，綜合運用了圓周角定理及其推論發(fā)現(xiàn)等腰直角三角形，再進(jìn)一步根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及中位線定理，求得EF的弦心距，最后結(jié)合垂徑定理和勾股定理求得弦長．