Question

9．如圖，長方形ABCD中，AB=x²+4x+3，設長方形面積為S．
（1）若S_{長方形ABCD}=2x+6，x取正整數，且長方形ABCD的長、寬均為整數，求x的值；
（2）若S_{長方形ABCD}=x²+8x+15，x取正整數，且長方形ABCD的長、寬均為整數，求x的值；
（3）若S_{長方形ABCD}=2x³+ax²+bx+3，對于任意的正整數x，BC的長均為整數，求（a-b）²⁰¹⁵的值．

Answer 1

分析 （1）首先求出長方形的邊長BC為$\frac{2}{x+1}$，然后根據長寬均為整數，即可求出x的值；
（2）首先求出長方形的邊長BC為1+$\frac{4}{x+1}$，然后根據長寬均為整數，即可求出x的值；
（3）首先根據題意得到BC=$\frac{2{x}^{3}+a{x}^{2}+bx+3}{{x}^{2}+4x+3}$=mx+n，進而得到（mx+n）（x²+4x+3）=mx³+（4m+n）x²+（3m+4n）x+3，再根據對應關系求出a和b的值，最后求出（a-b）²⁰¹⁵的值．

解答 解：（1）∵AB=x²+4x+3，S_{長方形ABCD}=2x+6，
∴BC=$\frac{2x+6}{x2+4x+3}$=$\frac{2（x+3）}{（x+3）（x+1）}$=$\frac{2}{x+1}$，
∵BC的長為整數，
∴x+1=1或2，
∴x=0或1，
∵x為正整數，
∴x=1；

（2）∵AB=x²+4x+3，S_{長方形ABCD}=x²+8x+15，
∴BC=$\frac{{x}^{2}+8x+15}{{x}^{2}+4x+3}$=$\frac{（x+3）（x+5）}{（x+3）（x+1）}$=$\frac{x+5}{x+1}$=1+$\frac{4}{x+1}$，
∵BC的長為整數，
∴x+1=1或2或4，
∴x=0或1或3，
∵x為正整數，
∴x=1或3；

（3）∵AB=x²+4x+3，S_{長方形ABCD}=2x³+ax²+bx+3，
∴BC=$\frac{2{x}^{3}+a{x}^{2}+bx+3}{{x}^{2}+4x+3}$=mx+n，
即2x³+ax²+bx+3=（mx+n）（x²+4x+3），
∵（mx+n）（x²+4x+3）=mx³+（4m+n）x²+（3m+4n）x+3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{a=4m+n}\\{b=3m+4n}\\{3=3n}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{a=9}\\{b=10}\\{n=1}\end{array}\right.$，
∴mx+n=2x+1，對于任意正整數x，其值均為整數，
∴（a-b）²⁰¹⁵=-1．

點評 本題主要考查了因式分解的應用以及分式的混合運算的知識，解答本題本題的關鍵是掌握多項式除以多項式的方法，此題有一定的難度．