Question

如圖，已知拋物線與y軸交于點A，與x軸交于點B(-1，0)和點C(3，0)．

(1)求拋物線的表達式和對稱軸；

(2)設拋物線的對稱軸與直線AC交于點D，連接AB、BD，求△ABD的面積；

(3)點M為拋物線上一動點，過點M作y軸的平行線MN，與直線AC交于點N．問在拋物線上是否存在點M，使得以D、N、M為頂點的三角形與△ACO相似？若存在，求點M的坐標；若不存在，請說明理由。

 

Answer 1

．解：（1）∵拋物線經(jīng)過B(－1，0)和C(3，0)

∴解得

∴拋物線的表達式為

∴對稱軸為直線x＝1   …………………………………………………3分

(2)令x＝0得y＝3 ∴A(0,3)

設AC的解析式為y=kx+b將A（0，3）、C（3，0）代入得

∴直線AC的解析式為y＝－x＋3

當x＝1時，y＝2  ∴D(1,2)

∴…………6分

(3)假設存在點M，使得以D、M、N為頂點的三角形與△AOC相似。

在Rt△AOC中，∵OA=OC=3，∴Rt△AOC為等腰直角三角形，

∴∠OAC=∠OCA=45°，則以D、M、N為頂點的三角形也必須是等腰直角三角形。

由MN∥OA得∠MND=∠OAC=45°，故以D、M、N為頂點的直角三角形只能以點D或M為直角頂點�！�………………………………………………………7分

①當M為直角頂點時，DM⊥MN，此時△DMN∽△COA，∴DM所在的直線為y=2

由解得x=1±，∴M(或M（。………9分

②當D為直角頂點時，DM⊥AC，此時△DMN∽△OCA

∵D在對稱軸上，∴DB=DC，∴∠DBC=∠DCB=45⁰，∴∠ BDC=90⁰，∴BD⊥AC，

故M在直線BD上�！�………10分

設BD的解析式為y=kx+b,將B、D的坐標代入得

∴BD的解析式為y=x+1

由。將x=-1代入y=x+1得y=0 ，∴M(-1,0)

將x=2代入y=x+1得y=3，∴M(2,3)

綜上所述，在拋物線上存在點M，使得以D、N、M為頂點的三角形與△ACO相似，點M的坐標為(，（，（-1，0），(2,3)