Question

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，以BC為直徑的半圓O與邊AB相交于點(diǎn)D，切線DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E．求證：
（1）△ABC是等邊三角形；
（2）AE=

1

4

AC．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）連結(jié)OD，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得OD⊥DE，易得OD∥AC，則∠DOB=∠C，由于∠B=∠C，則∠B=∠DOB，接著證明△DBO為等邊三角形，得到∠B=60°，然后根據(jù)等邊三角形的判定方法即可得到△ABC是等邊三角形；
（2）由于△ABC是等邊三角形，則∠A=60°，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到AE=

1

2

AD，再證明D點(diǎn)為AB的中點(diǎn)，即AD=BD，則AE=

1

4

AB，于是有AE=

1

4

AC．

解答：證明：（1）連結(jié)OD，如圖，
∵以BC為直徑的半圓O與邊AB相交于點(diǎn)D，
∴OD⊥DE，
∵DE⊥AC，
∴OD∥AC，
∴∠DOB=∠C，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠B=∠DOB，
∴DB=DO，
∴DB=DO=BO，
∴△DBO為等邊三角形，
∴∠B=60°，
而AB=AC，
∴△ABC是等邊三角形；
（2）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=60°，
∴∠ADE=30°，
∴AE=

1

2

AD，
∵OD∥AC，點(diǎn)O為BC的中點(diǎn)，
∴D點(diǎn)為AB的中點(diǎn)，即AD=BD，
∴AE=

1

4

AB，
∴AE=

1

4

AC．

點(diǎn)評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點(diǎn)的半徑，得到垂直關(guān)系，構(gòu)造直角三角形．