Question

12．如圖，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，在線段CB上以每秒1cm的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動．與此同時，點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)，在線段BA上以每秒lcm的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動．過點(diǎn)P作PN⊥BC，交AC點(diǎn)N，連接MP，MN．當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)BC中點(diǎn)時，點(diǎn)P與M同時停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為t秒（t＞0）．
（1）當(dāng)t為何值時，PM⊥AB．
（2）設(shè)△PMN的面積為y（cm²），求出y與x之間的函致關(guān)系式．
（3）是否存在某一時刻t，使S_△PMN：S_△ABC=1：5？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)△BMP∽△BDA得$\frac{BM}{BD}=\frac{PB}{AB}$即可列出方程解決．
（2）根據(jù)△BMP∽△BDA得$\frac{PN}{AD}=\frac{CP}{CD}$求出PN，MF，在證明四邊形DPEF是矩形得到ME即可．
（3）代入（2）即可用方程解決．

解答 解：（1）過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，
∵AB=AC，∠ADB=90°，
∴BD=CD=6，
∴$AD=\sqrt{A{B}^{2}-C{D}^{2}}$=8，
∵M(jìn)P⊥AB，
∴∠BMP=∠ADB=90°，
∵∠B=∠B，
∴△BMP∽△BDA，
∴$\frac{BM}{BD}=\frac{PB}{AB}$，
∴$\frac{t}{6}=\frac{12-t}{10}$解得t=4.5，
∴當(dāng)t為4.5時，PM⊥AB
（2）過點(diǎn)M作ME⊥NP于E，交AD于F．
∵BC⊥NP，
∴∠ADC=∠NPC=90°，
∵∠C=∠C，
∴△CPN∽△CDA，
∴$\frac{PN}{AD}=\frac{CP}{CD}$，
∴$\frac{PN}{8}=\frac{t}{6}$，
∴PN=$\frac{4}{3}t$，
由△AMF∽△ABD，可得$\frac{MF}{BD}$=$\frac{AM}{AB}$，即$\frac{MF}{6}$=$\frac{10-t}{10}$，
∴MF=$\frac{3}{5}（10-t）$，
∵∠BPN=∠ADP=∠MEP=90°，
∴四邊形DPEF是矩形，
∴EF=DP=6-t，
∴ME=MF+EF=$\frac{3}{5}$（10-t）+6-t=12-$\frac{8}{5}$t，
∴S_△MPN=$\frac{1}{2}$PN•ME=$\frac{1}{2}$$•\frac{4}{3}t$（12-$\frac{8}{5}$t）=-$\frac{16}{15}$t²+8t，（0＜t≤6），
（3）存在．
由題意：-$\frac{16}{15}$t²+8t=$\frac{1}{5}$×$\frac{1}{2}$×12×8，
解得到t=$\frac{3}{2}$或6．
所以t=$\frac{3}{2}$秒或6秒時，S_△PMN：S_△ABC=1：5．

點(diǎn)評 本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)、三角形面積公式等知識，本題的解題方法就是用方程的思想解決問題，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為方程是常用的手段．