Question

已知：如圖，梯形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中點，AE、DC的延長線相交于點F，連接AC、BF．
（1）求證：AB=CF；
（2）若將梯形沿對角線AC折疊恰好D點與E點重合，梯形ABCD應滿足什么條件，能使四邊形ABFC為菱形？并加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）由AB∥DC，即可得∠CFE=∠BAE，又由CE=BE，∠CEF=∠BEA，證得△CEF≌△BEA，則可得AB=CF；
（2）由△CEF≌△BEA，易證得四邊形ABFC是平行四邊形，又由折疊的性質(zhì)，可得AC=CF，則可得當梯形ABCD是直角梯形，∠D=90°時，四邊形ABFC為菱形．
解答：（1）證明：∵AB∥DC，CF是DC的延長線，
∴CF∥AB，（1分）
∴∠CFE=∠BAE，（2分）
又∵CE=BE，∠CEF=∠BEA，
∴△CEF≌△BEA，（3分）
∴AB=CF；（4分）

（2）當梯形ABCD是直角梯形，∠D=90°時，四邊形ABFC為菱形．（5分）
證明：∵△CEF≌△BEA，
∴AB=CF，EF=EA，
∴四邊形ABFC是平行四邊形，（6分）
由折疊得∠AEC=∠D=90°，
∴AC=CF，（7分）
所以四邊形ABFC為菱形（8分）．
點評：此題考查了梯形的性質(zhì)，菱形的判定以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，解題的關鍵是數(shù)形結合思想的應用．