Question

10．如圖，在Rt△AOB中，OA=OB=5$\sqrt{2}$，⊙O的半徑為3，點(diǎn)P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的一條切線PQ（點(diǎn)Q為切點(diǎn)），則切線PQ的最小值為（　　）

• A． 3
• B． 5$\sqrt{2}$-3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 連結(jié)OQ、OP，如圖，先利用等腰直角三角形的性質(zhì)計(jì)算出AB=$\sqrt{2}$OB=10，再根據(jù)切線的性質(zhì)得OQ⊥PQ，根據(jù)勾股定理得PQ=$\sqrt{O{P}^{2}-O{Q}^{2}}$=$\sqrt{O{P}^{2}-{3}^{2}}$，利用垂線段最短得OP⊥AB時(shí)，OP最小，此時(shí)OP=$\frac{1}{2}$AB=5，所以PQ的最小值為4．

解答 解：連結(jié)OQ、OP，如圖，
在Rt△AOB中，∵OA=OB=5$\sqrt{2}$，
∴AB=$\sqrt{2}$OB=10，
∵PQ為切線，
∴OQ⊥PQ，
在Rt△POQ中，PQ=$\sqrt{O{P}^{2}-O{Q}^{2}}$=$\sqrt{O{P}^{2}-{3}^{2}}$，
當(dāng)OP最小時(shí)，PQ最小，
而當(dāng)OP⊥AB時(shí)，OP最小，此時(shí)OP=$\frac{1}{2}$AB=5，
∴PQ的最小值為$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．運(yùn)用切線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過(guò)作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題．