Question

如圖，直線y₁=mx+4與x軸、y軸分別交于A點(diǎn)、B點(diǎn)，且與反比例函數(shù)y₂=

k

x

在第一象限的圖象有唯一的公共點(diǎn)P，若S_△OAB=4，則k=

2

．

Answer 1

分析：對(duì)于一次函數(shù)y₁=mx+4，令x=0求出y的值，確定出B的坐標(biāo)，進(jìn)而確定出OB的長(zhǎng)，由三角形AOB的面積等于兩直角邊OA與OB乘積的一半，根據(jù)OB與已知的面積求出OA的長(zhǎng)，進(jìn)而確定出A的坐標(biāo)，將A的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式中求出m的值，確定出一次函數(shù)解析式，將一次函數(shù)解析式與反比例解析式聯(lián)立組成方程組，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)兩函數(shù)有唯一的交點(diǎn)P，得到根的判別式的值等于0，列出關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．

解答：解：對(duì)于直線y₁=mx+4，
令x=0，解得：y=4，故B（0，4），即OB=4，
∵S_△OAB=

1

2

OA•OB=

1

2

×4OA=4，
∴OA=2，即A（2，0），
將A坐標(biāo)代入y₁=mx+4得：0=2m+4，即m=-2，
∴y₁=-2x+4，
將兩函數(shù)解析式聯(lián)立得：

y=-2x+4 y= k x

，
消去y得：-2x+4=

k

x

，即2x²-4x+k=0，
∵兩函數(shù)在第一象限的圖象有唯一的公共點(diǎn)P，
∴b²-4ac=16-8k=0，
解得：k=2．
故答案為：2

點(diǎn)評(píng)：此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，以及三角形面積公式，待定系數(shù)法是數(shù)學(xué)中重要的思想方法，學(xué)生做題時(shí)注意靈活運(yùn)用．