Question

已知二次函數(shù)y=kx²-（2k+1）x+（k+1）（k≠0為實(shí)數(shù)）．
（1）求證：不論k為何值，該函數(shù)的圖象與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)；
（2）該函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
①當(dāng)△ABC的面積等于2時(shí)，求k的值；
②對(duì)任意負(fù)實(shí)數(shù)a＜0，當(dāng)x＞m時(shí)，y隨著x的增大而減小，試求出m的一個(gè)值．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn),二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：

分析：（1）利用根的判別式的性質(zhì)直接判斷△的符號(hào)得出答案即可；
（2）①令y=0，求出x的值，再利用三角形面積公式求出k的值即可；
②利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)增減性，進(jìn)而對(duì)稱軸位置以及k的符號(hào)得出答案．

解答：（1）證明：∵△=（2k+1）²-4k（k+1）=1＞0，
∴不論k為何實(shí)數(shù)，此函數(shù)圖象與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)；
                       
（2）解：①令y=0，kx²-（2k+1）x+（k+1）=0
解得：x₁=1，x₂=1+

1

k

，
S_△ABC=0.5×|

1

k

|×|（k+1）|=2，
解得：k=1或k=-

1

3

；
                                                  
②∵函數(shù)y=kx²-（2k+1）x+（k+1）的圖象在對(duì)稱軸（直線x=

2k+1

2k

）的右側(cè)，y隨x的增大而減少，
根據(jù)題意，當(dāng)k＜0時(shí)，x=

2k+1

2k

=1+

1

2k

＜1，
所以m≥1都有y隨x的增加而減小．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)與x軸、y軸的交點(diǎn)問(wèn)題的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，題目是一道比較好的題目，難度適中．