Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC為直徑的⊙O分別交AB、BC于點(diǎn)M、N，點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上，且∠CAB=2∠BCP．
（1）求證：直線CP是⊙O的切線；
（2）若BC=2 ，sin∠BCP= ，求點(diǎn)B到AC的距離．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC，

∵AC為⊙O的直徑，

∴∠ANC=90°，

∴∠CAN+∠ACN=90°，2∠BAN=2∠CAN=∠CAB，

∵∠CAB=2∠BCP，

∴∠BCP=∠CAN，

∴∠ACP=∠ACN+∠BCP=∠ACN+∠CAN=90°，

∵點(diǎn)D在⊙O上，

∴直線CP是⊙O的切線

（2）如圖，作BF⊥AC

∵AB=AC，∠ANC=90°，

∴CN= CB= ，

∵∠BCP=∠CAN，sin∠BCP= ，

∴sin∠CAN= ，

∴ ，

∴AC=5，

∴AB=AC=5，

設(shè)AF=x，則CF=5﹣x，

在Rt△ABF中，BF2=AB2﹣AF2=25﹣x2，

在Rt△CBF中，BF2=BC2﹣CF2=2O﹣（5﹣x）2，

∴25﹣x2=2O﹣（5﹣x）2，

∴x=3，

∴BF2=25﹣32=16，

∴BF=4，

即點(diǎn)B到AC的距離為4．

【解析】（1）利用直徑所對(duì)的圓周角為直角，2∠CAN=∠CAB，∠CAB=2∠BCP判斷出∠ACP=90°即可；（2）利用銳角三角函數(shù)，即勾股定理即可．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的切線的判定定理，需要了解切線的判定方法：經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線才能得出正確答案．