Question

已知矩形紙片ABCD中，AB=24厘米，BC=10厘米．
（1）按如下操作：先將矩形紙片上下對折，而后左右對折，再沿對角線對折，而后展開得到圖中的折痕四邊形EFGH（如圖1），求菱形EFGH的面積．
（2）如圖2，將矩形紙片ABCD先沿對角線AC對折，再將紙片折疊使點A與點C重合得折痕EF，則四邊形AECF必為菱形，請加以證明．
（3）請通過一定的操作，構(gòu)造一個菱形EFGH（不同于第（1）題中的特殊圖形），使菱形的四個頂點分別落在矩形ABCD的四條邊上（E、F、G、H分別在邊AB、BC、CD、DA上，且不與矩形ABCD的頂點重合）．
①請簡述操作的方法，并在圖3中畫出菱形EFGH．
②求菱形EFGH的面積的取值范圍．

Answer 1

考點：四邊形綜合題,全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,菱形的判定與性質(zhì),矩形的性質(zhì),圓周角定理,軸對稱的性質(zhì),銳角三角函數(shù)的定義

專題：綜合題

分析：（1）如圖1，由折疊可得HF=AB=24，GE=BC=10，然后運用菱形的面積公式就可解決問題．
（2）如圖2，由折疊可得EF⊥AC，OA=OC；由矩形ABCD可得DC∥AB，從而有∠ECO=∠FAO，進而可證到△EOC≌△FOA，則有OE=OF，就可證到四邊形AECF是菱形．
（3）①只需先通過折疊找到矩形的中心0，然后再經(jīng)過兩次折疊（兩條折痕過點O且互相垂直）就可得到符合要求的菱形EFGH；
②易證∠GDH=∠GOH=90°，從而可得O、G、D、H四點共圓，根據(jù)圓周角定理可得∠GHO=∠GDO，然后利用三角函數(shù)就可得到

OG

OH

=

BC

DC

=

5

12

．設(shè)OG=5k，則OH=12k，從而得到菱形EFGH的面積為120k²．只需求出k的范圍，就可解決問題．

解答：解：（1）如圖1，

由折疊可得：HF=AB=24，GE=BC=10．
∴S_菱形EFGH=

1

2

HF•GE=

1

2

×24×10=120．
∴菱形EFGH的面積為120cm²．

（2）證明：如圖2，

由折疊可得：EF⊥AC．OA=OC．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴DC∥AB．
∴∠ECO=∠FAO．
在△EOC和△FOA中，

∠ECO=∠FAO OC=OA ∠EOC=∠FOA

．
∴△EOC≌△FOA（ASA）．
∴OE=OF．
∵OE=OF，OC=OA，
∴四邊形AECF是平行四邊形．
∵EF⊥AC，
∴平行四邊形AECF是菱形．

（3）①將矩形紙片分別沿著AC、BD折疊，設(shè)兩折痕的交點為0，展開后沿經(jīng)過點O的線FH折疊，
展開后再沿經(jīng)過點O且與FH垂直的線EG折疊，則圖3中的四邊形EFGH就是符合要求的菱形EFGH．

②∵四邊形ABCD是矩形，四邊形EFGH是菱形，
∴∠GDH=∠GOH=90°．
∴O、G、D、H四點共圓．
∴∠GHO=∠GDO．
∴tan∠GHO=tan∠GDO．
∴

OG

OH

=

BC

DC

=

10

24

=

5

12

．
設(shè)OG=5k，則OH=12k．
∴FH=24k，GE=10k．
∴S_菱形EFGH=

1

2

FH•GE=120k²．
在Rt△ABC中，
AC=

AB2+BC2

=

242+102

=26．
∴OA=

1

2

AC=13．
當(dāng)OH⊥AD時，OH=

1

2

AB=12．
∴12＜OH＜13．
∴12＜12k＜13．
∴1＜k＜

13

12

．
∴1＜k²＜

169

144

．
∴120＜120k²＜

845

6

．
∴120＜S_菱形EFGH＜

845

6

．
即菱形EFGH的面積大于120cm²且小于

845

6

cm²．

點評：本題考查了軸對稱的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、菱形的面積公式、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、圓周角定理、三角函數(shù)等知識，綜合性強，還考查了操作、推理、探究等能力，是一道好題．