Question

如圖所示，梯形ABCD，AD∥BC，AB在y軸上，B在原點，BC在x軸上．
（1）若A（0，8），AD長20cm，BC長26cm，求梯形的一腰CD的長度；

（2）若動點P從點A開始沿AD邊向點D以1 cm/s的速度運動，動點Q從點C開始沿CB邊向點B以3 cm/s的速度運動，P、Q分別從A、C同時出發(fā)，當(dāng)其中一點到達(dá)端點時，另一點也隨之停止運動，設(shè)運動時間為t（單位：s）．
①當(dāng)t為何值時，四邊形PQCD為直角梯形；
②當(dāng)t為何值時，四邊形PQCD為平行四邊形；
③當(dāng)t為何值時，四邊形PQCD為等腰梯形；

（3）用t表示四邊形PQCD的面積S，并求出S的最大值．

Answer 1

分析：（1）欲求CD的長度，我們過D點作DE⊥BC于E，在Rt△DEC中，根據(jù)勾股定理即可得出CD的長度．
（2）根據(jù)題意可知，Q點先到B點；
①四邊形PQCD為直角梯形，即AP=BQ，列出等式，求解即可；
②四邊形PQCD為平行四邊形，即CQ=PD，列出等式求解；
③四邊形PQCD為等腰梯形，即CD=PQ，過點P作PF⊥BC于F，根據(jù)勾股定理列出等式即可得出．
（3）由題意可知，由梯形的面積公式S=（上底加下底）乘高除2，代入數(shù)據(jù)即可表示出，四邊形PDCQ的面積．

解答：解：（1）過點D作DE⊥BC于E，由題意，AB=8cm，AD=20cm，BC=26cm，
所以，BE=AD=20cm，故在Rt△DEC中，EC=6cm，DE=8cm，
即DC=10，即CD的長度為10cm．
；
（2）由題意，P點到D所用時間為20s，Q點到B點的時間為

26

3

．故Q點先到．
①根據(jù)題意，四邊形PQCD為直角梯形，即AP=BQ，
所以有t=26-3t；
解之t=

13

2

s．
②四邊形PQCD為平行四邊形，即CQ=PD，
即20-t=3t；
解之t=5s．
③過點P作PF⊥BC于F，四邊形PQCD為等腰梯形，
即CD=PQ，在Rt△PFQ中，PF=AB=8cm，PQ=CD=10cm，故QF=6cm，
所以，BQ=26-3t，AP=t，BF=32-3t，
即，32-3t=t，
解得t=8s．符合題意．

（3）根據(jù)題意，PD=20-t，CQ=3t，AB為四邊形的高，且AB=8．
故S=

1

2

(20-t+3t)×8=4(20+2t)=80+8t．
由（2）知，Q點先到B點，
∴把t=

26

3

，代入公式，得S=

448

3

．
即最大值S=

448

3

．

點評：此題主要考查了學(xué)生對梯形性質(zhì)及面積的掌握和對運動中問題的解決能力．