Question

（2003•青海）如圖，已知：AB是⊙O的直徑，⊙O過(guò)AC的中點(diǎn)D，DE⊥BC，垂足為E，
求證：
（1）DE是⊙O的切線；
（2）CD²=CE•CB．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證DE是⊙O的切線，只要連接OD，求證∠ODE=90°即可；
（2）要證CD²=CE•CB，只需證明△CDE∽△CDB即可．
解答：證明：（1）連接OD，（1分）
∵D是AC的中點(diǎn)，O是AB的中點(diǎn)，
∴OD∥BC．（2分）
∴∠CED=∠ODE=90°．（3分）
∴DE是⊙O的切線．（4分）

（2）連接DB，（5分）
∵AB是直徑，
∴∠ADB=∠CDB=90°．（6分）
在△CDB和△CED中，∠C=∠C，∠CDB=∠CED=90°，（7分）
∴△CDB∽△CED．（8分）
∴CD²=CE•CB．（9分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心和這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．以及乘積的形式通常可以轉(zhuǎn)化為比例的形式，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出．