Question

【題目】如圖1，OA=2，OB=4，以A點為頂點，AB為腰在第三象限作等腰直角△ABC.

（1）求C點的坐標.

（2）如圖2，OA=2,P為y軸負半軸上的一個動點，若以P為直角頂點，PA為腰作等腰直角△APD，過D作DE⊥x軸于E點，求OP－DE的值.

（3）如圖3，點F坐標為（－4，－4），點G（0，m）在y軸負半軸，點H（n，0）在x軸的正半軸，且FH⊥FG，求m+n的值.

Answer 1

【答案】答案見解析.

【解析】

（1）作CD⊥AD，易證∠ACD=∠OAB，即可求證△ACD≌△BAO，可得AD=OB，CD=OA即可解題；

（2）作DF⊥OP，易證∠APO=∠PDF，即可證明△AOP≌△PFD，可得AO=PF，DE=OF，即可解題；

（3）作FD⊥HD，FE⊥OG，易證∠EFG=∠DFH，即可證明△EFG≌△DFH，可得EG=DH，即-m-4=n+4，即可解題．

解：如圖，

（1）過點C作CD⊥AD，

∵∠CAD+∠ACD=90°，∠CAD+∠OAB=90°，

∴∠ACD=∠OAB，

在△ACD和△BAO中，

∴△ACD≌△BAO，（AAS）

∴AD=OB，CD=OA，

∴點C坐標為（-6，-2）；

(2)作DF⊥OP，

∵∠APO+∠DPF=90°，∠PDF+∠DPF=90°，

∴∠APO=∠PDF，

在△AOP和△PFD中，

∴△AOP≌△PFD，（AAS）

∴AO=PF，DE=OF，

∴OP-DE=OP-OF=FP=AO=2；

(3)作FD⊥HD，FE⊥OG，則FE=FD=4，

∵∠EFG+∠OFE=90°，∠OFE+∠DFH=90°，

∴∠EFG=∠DFH，

在△EFG和△DFH中， ，

∴△EFG≌△DFH，（ASA）
∴EG=DH，即-m-4=n+4，
∴m+n=-8．