Question

2．在正方形ABCD中，將直線AB繞點A順時針旋轉n°得直線AG，點I與B點關于直線AG對稱，BI交AG于F，連接
DI交AG于H．
（1）如圖1，連接BD，當n=30時，求∠1的度數．
（2）如圖2，連接CH，求證：CH⊥AG；
（3）如圖3，當n=60，AB=2時，CH的長為$\sqrt{3}$+1．

Answer 1

分析 （1）連接AI，根據正方形的性質和三角形內角和定理計算即可；
（2）連接AI、BH、BD，證明A、H、C、D四點共圓，得到∠AHC=∠ABC=90°，根據垂直的定義證明即可；
（3）作BK⊥HC于K，連接AI，證明四邊形FBKH是正方形，根據直角三角形的性質計算即可．

解答 解：（1）如圖1，連接AI，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠4=90°，AB=AD．
∵點I與B點關于直線AG對稱，∠3=30°，
∴∠2=30°，AI=AB．
∴AI=AD．∴∠5=∠6=（180°-150°）÷2=15°．
又∵∠ADB=45°，
∴∠1=30°．
（2）如圖2，分別連接AI、BH、BD，同（1）可證：∠1=∠2，∠3=∠2．
∴∠1=∠3．
∵點I與B點關于直線AG對稱，
∴HI=HB，
∴∠BHD=∠4=90°．
又∵∠BCD=90°，
∴A、H、C都在以BD為直徑的圓上．
∴∠AHC=∠ABC=90°．
∴CH⊥AG．
（3）作BK⊥HC于K，連接AI，
由（1）得∠BID=45°．
又∵∠HFI=90°，
∴FH=FI=FB．
由（2）知：∠HFB=90°．
∴四邊形FBKH是正方形．
∴HK=FB=BK．
在Rt△AFB中，∵∠BAG=60°，
∴∠ABG=30°．又∵AB=2，
∴AF=1，F(xiàn)B=$\sqrt{3}$AF=$\sqrt{3}$．
同理可得：KC=1．
∴CH=HK+KC=$\sqrt{3}$+1．

點評 本題考查了正方形的性質、軸對稱的性質、旋轉的性質以及等腰三角形的判定與性質、面積的計算方法；熟練掌握正方形和軸對稱的性質得出等腰三角形，進一步得出角之間的關系是解決問題的關鍵．