Question

10．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)B（2，1），過點(diǎn)B作BA⊥x軸，垂足為A，若拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+k與△OAB的邊界總有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　　）

• A． -2＜k＜0
• B． -2＜k＜$\frac{1}{8}$
• C． -2＜k＜-1
• D． -2＜k＜$\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 先根據(jù)拋物線解析式y(tǒng)=$\frac{1}{2}$x²+k，求出拋物線與△AOB有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)的k值，然后根據(jù)拋物線的位置與開口方向判斷k的取值范圍即可．

解答 解：①由B（2，1）可得，OB的解析式為y=$\frac{1}{2}$x，
∵拋物線為y=$\frac{1}{2}$x²+k，
∴當(dāng)拋物線與OB有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，
一元二次方程$\frac{1}{2}$x=$\frac{1}{2}$x²+k中，判別式△＞0，
即1-8k＞0，
解得k＜$\frac{1}{8}$，
∴拋物線與△OAB有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，k＜$\frac{1}{8}$；
②∵B（2，1），BA⊥x軸，
∴A（2，0），
當(dāng)拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+k經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，0=2+k，即k=-2，
∵拋物線開口向上，
∴拋物線與△OAB有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，k＞-2，
綜上，若拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+k與△OAB的邊界總有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是-2＜k＜$\frac{1}{8}$．
故選（B）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)圖形求出拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+k與△OAB的邊界有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)k的值是解題的關(guān)鍵．解題時(shí)注意，二次函數(shù)y=ax²+c（a≠0）的圖象是拋物線，對(duì)稱軸是y軸，拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是函數(shù)解析中的c值．