Question

已知：如圖1，在面積為3的正方形ABCD中，E、F分別是BC和CD邊上的兩點(diǎn)，AE⊥BF于點(diǎn)G，且BE=1．

（1）求證：△ABE≌△BCF；

（2）求出△ABE和△BCF重疊部分（即△BEG）的面積；

（3）現(xiàn)將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到△AB＇E＇（如圖2），使點(diǎn)E落在CD邊

上的點(diǎn)E＇處，問△ABE在旋轉(zhuǎn)前后與△BCF重疊部分的面積是否發(fā)生了變化？請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

⑴證明：∵正方形ABCD中，∠ABE=∠BCF=90⁰ ，AB=BC，

            ∴∠ABF+∠CBF=90⁰，

             ∵AE⊥BF，

             ∴∠ABF+∠BAE=90⁰，

             ∴∠BAE=∠CBF，

             ∴△ABE≌△BCF.

⑵解：∵正方形面積為3，∴AB=，  

在△BGE與△ABE中， ∵∠GBE=∠BAE, ∠EGB=∠EBA=90⁰

            ∴△BGE∽△ABE           

        ∴，又BE=1，∴AE²=AB²+BE²=3+1=4

            ∴==.  

(用其他方法解答仿上步驟給分).

⑶解：沒有變化 ∵AB=，BE=1，∴tan∠BAE=,∠BAE=30°,

∵AB′=AD，∠AB′E′=∠ADE＇=90°,AE′公共，

∴Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′,

∴∠DAE′=∠B′AE′=∠BAE=30°,

∴AB′與AE在同一直線上，即BF與AB′的交點(diǎn)是G，

設(shè)BF與AE′的交點(diǎn)為H,

則∠BAG=∠HAG=30°,而∠AGB=∠AGH=90°,AG公共，

∴△BAG≌△HAG,

∴=== .

∴△ABE在旋轉(zhuǎn)前后與△BCF重疊部分的面積沒有變化.