Question

如圖，正方形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在y軸和x軸上，且A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,1），正方形的邊長(zhǎng)為.

   (1) 直接寫出D、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

 （2）求經(jīng)過(guò)A、D、C三點(diǎn)的拋物線的關(guān)系式；

 （3）若正方形以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速沿射線下滑，直至頂點(diǎn)落在軸上時(shí)停               止．設(shè)正方形落在軸下方部分的面積為S，求S關(guān)于滑行時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)自變量的取值范圍；

 （4）在（3）的條件下，拋物線與正方形一起平移，到頂點(diǎn)落在軸上時(shí)，求拋物線上 兩點(diǎn)間的拋物線弧所掃過(guò)的面積．

 

Answer 1

【答案】

（1）；

（2）設(shè)拋物線為，拋物線過(guò)（0，1）（3，2）（1，3），依題意得：

       

     ∴ 拋物線的關(guān)系式是                     …………………………………5分

 （3）①當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)x軸時(shí)，

當(dāng)時(shí)，如圖1，

   

∵，

∴∴

∴；

 ②當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到軸上時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，如圖2，

∴∴，

∵，

∴

；

   ③當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到軸上時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，如圖3，

∵，

∴，

∵，   ∽

∴，

∴，

∴ 

          =．

（4）∵,,

∴　

          =

          =．

【解析】（1）可先根據(jù)AB所在直線的解析式求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出OA、OB的長(zhǎng)．過(guò)D作DM⊥y軸于M，則△ADM≌△BAO，由此可得出MD、MA的長(zhǎng)，也就能求出D的坐標(biāo)，同理可求出C的坐標(biāo)；

（2）可根據(jù)A、C、D三點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；

（3）要分三種情況進(jìn)行討論：

①當(dāng)F點(diǎn)在A′B′之間時(shí)，即當(dāng)0＜t≤1時(shí)，此時(shí)S為三角形FBG的面積，可用正方形的速度求出AB′的長(zhǎng)，即可求出B′F的長(zhǎng)，然后根據(jù)∠GFB′的正切值求出B′G的長(zhǎng)，即可得出關(guān)于S、t的函數(shù)關(guān)系式．

②當(dāng)A′在x軸下方，但C′在x軸上方或x軸上時(shí)，即當(dāng)1＜t≤2時(shí)，S為梯形A′GB′H的面積，可參照①的方法求出A′G和B′H的長(zhǎng)，那么梯形的上下底就可求出，梯形的高為A′B′即正方形的邊長(zhǎng)，可根據(jù)梯形的面積計(jì)算公式得出關(guān)于S、t的函數(shù)關(guān)系式．

③當(dāng)D′逐漸移動(dòng)到x軸的過(guò)程中，即當(dāng)2＜t≤3時(shí)，此時(shí)S為五邊形A′B′C′HG的面積，S=正方形A′B′C′D′的面積-三角形GHD′的面積．可據(jù)此來(lái)列關(guān)于S，t的函數(shù)關(guān)系式；

（4）CE掃過(guò)的圖形是個(gè)平行四邊形，經(jīng)過(guò)關(guān)系不難發(fā)現(xiàn)這個(gè)平行四邊形的面積實(shí)際上就是矩形BCD′A′的面積．可通過(guò)求矩形的面積來(lái)求出CE掃過(guò)的面積．