Question

9．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，點P，Q都是斜邊AB上的動點，點P從B向A運動（不與點B重合），點Q從A向B運動，BP=AQ．點E，D分別是點A，B以Q，P為對稱中心的對稱點，HQ⊥AB，垂足為點Q，交AC于點H．當(dāng)點E到達頂點B時，Q，P同時停止運動，則當(dāng)△HDE為等腰三角形時，BP的值為$\frac{40}{21}$或$\frac{40}{11}$或5或$\frac{320}{103}$．

Answer 1

分析 ①如圖1，當(dāng)0＜x≤2.5時，若DE=DH，根據(jù)DH=AH=$\frac{QA}{cos∠A}$=$\frac{5}{4}x$，列出方程解決，顯然ED=EH、HD=HE不可能．
②如圖2中，當(dāng)2.5＜x≤5時，若DE=DH，則4x-10=$\frac{5}{4}x$，解方程即可；若HD=HE，此時點D、E分別與點B、A重合，x=5；若DE=EH，由△EDH∽△HDA得$\frac{ED}{DH}=\frac{DH}{AD}$，列出方程求解．

解答 解：①如圖1，當(dāng)0＜x≤2.5時，若DE=DH，
∵DH=AH=$\frac{QA}{cos∠A}$=$\frac{5}{4}x$，ED=10-4x，
∴10-4x=$\frac{5}{4}x$，
∴X=$\frac{40}{21}$，
顯然ED=EH、HD=HE不可能．

②如圖2中，當(dāng)2.5＜x≤5時，若DE=DH，
則4x-10=$\frac{5}{4}x$，x=$\frac{40}{11}$，
若HD=HE，此時點D、E分別與點B、A重合，x=5，
若DE=EH，∵∠EDH=∠ADH=∠A=∠EHD
∴△EDH∽△HDA
∴$\frac{ED}{DH}=\frac{DH}{AD}$，
即$\frac{4x-10}{\frac{5}{4}x}=\frac{\frac{5}{4}x}{2x}$，解得x=$\frac{320}{103}$．

故答案為$\frac{40}{21}$或$\frac{40}{11}$或5或$\frac{320}{103}$．

點評 本題考查等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、三角函數(shù)等知識，學(xué)會分類討論是解決問題的關(guān)鍵，題目難度比較大，屬于中考壓軸題．