Question

如果一條拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸有兩個交點，那么以這兩個交點和該拋物線的頂點、對稱軸上一點為頂點的菱形稱為這條拋物線的“拋物菱形”．
（1）若拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸的兩個交點為（-1，0）、
（3，0），且這條拋物線的“拋物菱形”是正方形，求這條拋物線的函數(shù)解析式；
（2）如圖，四邊形OABC是拋物線y=-x²+bx（b＞0）的“拋物菱形”，且∠OAB=60°
①求“拋物菱形OABC”的面積．
②將直角三角板中含有“60°角”的頂點與坐標原點O重合，兩邊所在直線與“拋物菱形OABC”的邊AB、BC交于E、F，△OEF的面積是否存在最小值，若存在，求出此時△OEF的面積；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)求得A點的坐標，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得解析式；
（2）①根據(jù)“拋物菱形”的性質(zhì)，依據(jù)∠OAB=60°求得OB的長，然后根據(jù)勾股定理求得AC的值，即可求得菱形的面積；②當三角板的兩邊分別垂直與AB和BC時三角形OEF的面積最小，從而求得△OEF是等邊三角形，根據(jù)勾股定理求得OE=1，然后求邊長為1的等邊三角形的面積即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸的兩個交點為（-1，0）、（3，0），四邊形OABC是正方形，
∴A（1，2），
∴

0=a-b+c 0=9a+3b+c 2=a+b+c

 解得：

a=- 1 2 b=1 c= 3 2

∴拋物線的解析式為：y=-

1

2

x²+x+

3

2

；
（2）①∵由拋物線y=-x²+bx（b＞0）可知OB=b，
∵∠OAB=60°，
∴A（

b

2

，

3

2

b），
代入y=-x²+bx得：

3

2

b=-（

b

2

）²+b•

b

2

，解得：b=2

3

，
∴OB=2

3

，AC=6，
∴“拋物菱形OABC”的面積=

1

2

OB•AC=6

3

；
②存在；
當三角板的兩邊分別垂直與AB和BC時三角形OEF的面積最小，
∵OE⊥AB，
∴∠EOB=

1

2

∠AOB=30°，
同理∠BOF=30°，
∵∠EOF=60°
∴OB垂直EF且平分EF，
∴三角形OEF是等邊三角形，
∵OB=

2 3

3

，
∴OE=1，
∴OE=OF=EF=1，
∴△OEF的面積=

3

4

．

點評：本題考查了“拋物菱形”的性質(zhì)，拋物線的頂點坐標，正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，勾股定理的應(yīng)用等．