Question

如圖，矩形ABCD中，∠ADB=30°，AB=．動點P從A點出發(fā)沿AD方向運動，速度為每秒3個單位，終點是點D；動點Q從C點出發(fā)沿CB方向運動，速度為每秒1個單位，終點是點B． 若P、Q兩點同時出發(fā)，出發(fā)時間為t秒，點P、點Q中有一點停止運動，另一點也隨之而停止運動．分別以P、Q為圓心，PA、QC為半徑作⊙P和⊙Q．
（1）填空：AD的長為______；
（2）當⊙P與直線BD相切時，
①用直尺和圓規(guī)在圖①中作出⊙P（保留作圖痕跡，不寫作法）；
②求出此時t的值．
（3）求t為何值時，⊙P與⊙Q相切？

Answer 1

【答案】分析：（1）在直角三角形ADB中，利用30°的正切值即可求得AD的長；
（2）由作圖可知∠PBD=∠ADB=30°，表示出AP=3t，則PB=PD=6-3t然后在Rt△PAB中利用AB²+AP²=PB²得，求得t值即可；
（3）當⊙P與⊙Q外切時，過點P作PM⊥BC足為M，PQ=3t+t=4t，MQ=6-4t，利用勾股定理求得t值，當⊙P與⊙Q內(nèi)切時，過點P作PN⊥BC垂足為N，PQ=3t-t=2t，
NQ=CQ-CN=t-（6-3t），利用勾股定理求得t值即可．
解答：解：（1）∵∠ADB=30°，AB=．
∴AD=AB÷tan30°=2÷=6；

（2）①作圖正確
②由①作圖可知∠PBD=∠ADB=30°，AP=3t，則PB=PD=6-3t
在Rt△PAB中AB²+AP²=PB²
根據(jù)題意得
解得；


（3）如圖②⊙P與⊙Q外切時，過點P作PM⊥BC垂足為M，PQ=3t+t=4t，MQ=6-4t
則得
解得t=1；
如圖③⊙P與⊙Q內(nèi)切時，過點P作PN⊥BC垂足為N，PQ=3t-t=2t，
NQ=CQ-CN=t-（6-3t）=4t-6
則得
解得t=2．（11分）
綜合所得，當t=1或2時⊙P與⊙Q相切．
點評：本題考查了相切兩圓的性質(zhì)及勾股定理等知識，是一道綜合性很強的題目．