Question

（1）【操作發(fā)現(xiàn)】如圖①，在矩形ABCD中，E是BC中點(diǎn)，將△ABE沿AE折疊后得到△AFE，點(diǎn)F在矩形ABCD內(nèi)部，延長AF交CD于點(diǎn)G，連接FC，猜想∠GFC與∠GCF的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
（2）【類比探究】如圖②，將（1）中的矩形ABCD改為平行四邊形，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由．
（3）【應(yīng)用】若滿足（2）中條件，且∠AGD=140°，則∠FCG=

 

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Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）,平行四邊形的性質(zhì),矩形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）如圖①，首先證明∠AFE=∠ECG=90°，EF=EC；進(jìn)而得到∠EFC=∠ECF，即可解決問題．
（2）如圖②，首先證明∠EFC=∠ECF，其次證明∠EFG=∠ECG，即可解決問題．
（3）運(yùn)用（2）中的結(jié)論，結(jié)合外角定理，即可解決問題．

解答：解：（1）∠GFC=∠GCF；理由如下：
如圖1，∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠B=∠ECG=90°；
由題意得：BE=CE，BE=EF，∠AFE=∠B，
∴∠AFE=∠ECG=90°，EF=EC，
∴∠EFC=∠ECF（設(shè)為α），
∴∠GFC=∠GCF=90°-α．
（2）（1）中的結(jié)論仍然成立；理由如下：
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴∠B+∠ECG=180°；
由題意得：BE=CE，BE=EF，∠AFE=∠B（設(shè)為α），
∴∠AFE=∠ECG=180°-α，EF=EC，
∴∠EFC=∠ECF；
∵∠EFG=180°-α，∠ECG=180°-α，
∴∠EFG=∠ECG，
∴∠GFC=∠GCF．
（3）∵∠AGD=∠GFC+∠FCG，且∠AGD=140°，
∴∠FCG=70°．
故答案為：70°．

點(diǎn)評：該題主要考查了翻折變換的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等幾何知識點(diǎn)及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是牢固掌握翻折變換的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等幾何知識點(diǎn)．