Question

對于半徑為r的⊙P及一個正方形給出如下定義：若⊙P上存在到此正方形四條邊距離都相等的點，則稱⊙P是該正方形的“等距圓”．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形ABCD的頂點A的坐標(biāo)為（2，4），頂點C、D在x軸上，且點C在點D的左側(cè)．
（1）當(dāng)r=4

2

時，
①在P₁（0，-3），P₂（4，6），P₃（4

2

，2）中可以成為正方形ABCD的“等距圓”的圓心的是

 

；
②若點P在直線y=-x+2上，且⊙P是正方形ABCD的“等距圓”，則點P的坐標(biāo)為

 

；
（2）如圖2，在正方形ABCD所在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形EFGH的頂點F的坐標(biāo)為（6，2），頂點E、H在y軸上，且點H在點E的上方．
①若⊙P同時為上述兩個正方形的“等距圓”，且與BC所在直線相切，求⊙P在y軸上截得的弦長；
②將正方形ABCD繞著點D旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，線段HF上沒有一個點能成為它的“等距圓”的圓心，則r的取值范圍是多少？

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）①連接AC和BD，交于點M，設(shè)⊙P的圓心坐標(biāo)是（x，y），列出圓心到M的關(guān)系式，把P₁（0，-3），P₂（4，6），P₃（4

2

，2）代入，看是否成立來逆定，②把y=-x+2代入x²+（y-2）²=32，求出x和y的值，再寫出坐標(biāo)．
（2）①先求出△LIE為等腰直角三角形，得到L（0，5），進(jìn)而得出△LOM為等腰直角三角形，設(shè)P（p，-p+5）據(jù)關(guān)系列出方程求了圓心，的坐標(biāo)，最后得出弦長．
②連接DH，作DT⊥HF，以D為圓心，DE為半徑作圓，交DT于點E₁，交HD于E₂，當(dāng)0＜r＜DT-DE₁時，線段HF上沒有一個點能成為它的“等距圓”的圓心．當(dāng)r＞HE₂時，線段HF上沒有一個點能成為它的“等距圓”的圓心．據(jù)此求解．

解答：解：（1）①連接AC和BD，交于點M，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴M到正方形ABCD四條邊距離都相等
∴⊙P一定通過點M，
∵A（2，4）
∴M（0，2）
設(shè)⊙P的圓心坐標(biāo)是（x，y），
∴r=4

2

時，
∴x²+（y-2）²=（4

2

）²，
即，x²+（y-2）²=32，
把P₁（0，-3），P₂（4，6），P₃（4

2

，2）代入，只有P₂，P₃成立，
∴可以成為正方形ABCD的“等距圓”的圓心的是P₂，P₃
②∵點P在直線y=-x+2上，且⊙P是正方形ABCD的“等距圓”，
∴把y=-x+2代入x²+（y-2）²=32，得x²+x²=32，
解得x=±4，
∴y=-2或6，
∴P（4，-2）或P（-4，6）．
故答案為：P₂，P₃；（4，-2）或P（-4，6）．
（2）如下圖：

①∵⊙P同時為正方形ABCD與正方形EFGH的“等距圓”，
∴⊙P同時過正方形ABCD的對稱中心E和正方形EFGH的對稱中心I．
∴點P在線段EI的中垂線上．
∵A（2，4），正方形ABCD的邊CD在x軸上；F（6，2），正方形EFGH的邊HE在y軸上，
∴E（0，2），I（3，5）
∴∠IEH=45°，
設(shè)線段EI的中垂線與y軸交于點L，與x軸交于點M，
∴△LIE為等腰直角三角形，LI⊥y軸，
∴L（0，5），
∴△LOM為等腰直角三角形，LO=OM
∴M（5，0），
∴P在直線y=-x+5上，
∴設(shè)P（p，-p+5）
過P作PQ⊥直線BC于Q，連結(jié)PE，
∵⊙P與BC所在直線相切，
∴PE=PQ，
∴p²+（-p+5-2）²=（p+2）²，
解得：p1=5+2

5

，p2=5-2

5

，
∴．P1(5+2

5

，-2

5

)，P2(5-2

5

，2

5

)．
∵⊙P過點E，且E點在y軸上，
∴⊙P在y軸上截得的弦長為2|-2

5

-2|=4

5

+4或2|2

5

-2|=4

5

-4．
②如圖2，連接DH，作DT⊥HF，以D為圓心，DE為半徑作圓，交DT于點E₁，交HD于E₂，

當(dāng)0＜r＜DT-DE₁時，線段HF上沒有一個點能成為它的“等距圓”的圓心．
∵HF所在的直線為：y=-x+8，
DT所在的直線為：y=x-2，
∴T（5，3），
∵D（2，0），
∴DT=

32+(5-2)2

=3

2

，
∵DE=DE₁
∴DT-DE₁=DT-DE=3

2

-2

2

=

2

，
∴當(dāng)0＜r＜

2

時，線段HF上沒有一個點能成為它的“等距圓”的圓心．
當(dāng)r＞HE₂時，線段HF上沒有一個點能成為它的“等距圓”的圓心．
∵HE₂=HD+DE₂，DE₂=DE，
∴HE₂=HD+DE=

HO2+OD2

+2

2

=

82+22

+2

2

=2

17

+2

2

，
∴當(dāng)r＞2

17

+2

2

時，線段HF上沒有一個點能成為它的“等距圓”的圓心．

點評：本題考查了圓綜合題．一定要弄清楚題干中的已知條件．本題中的“等距圓”的定義是正確解題的關(guān)鍵．