Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C是AB延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)D在⊙O上，且∠A=30°，∠ABD=2∠BDC．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）過點(diǎn)O作OF∥AD，分別交BD、CD于點(diǎn)E、F．若OB=2，求OE和CF的長．

Answer 1

（1）證明：連結(jié)OD．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°．
∵∠A=30°，
∴∠ABD=60°．
∵∠ABD=2∠BDC，
∴∠BDC=∠ABD=30°．
∵OD=OB，
∴△ODB是等邊三角形．
∴∠ODB=60°．
∴∠ODC=∠ODB+∠BDC=90°．
∴CD是⊙O的切線．

（2）解：∵OF∥AD，∠ADB=90°，
∴OF⊥BD，∠BOE=∠A=30°． …
∵BD=OB=2，
∴DE=BE=BD=1．
∴OE==．
∵OD=OB=2，∠DOC=60°，∠DOF=30°，
∴CD=OD•tan60°=2，DF=OD•tan30°=．
∴CF=CD-DF=2-=．
分析：（1）首先連接OD，由AB是⊙O的直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，可得∠ADB=90°，又由∠A=30°，∠ABD=2∠BDC，易證得△ODB是等邊三角形，繼而求得∠ODC=90°，即CD是⊙O的切線；
（2）由三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求得CD與DF的長，繼而求得答案．
點(diǎn)評：此題考查了切線的判定、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及三角函數(shù)等知識．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．