Question

（2009•烏魯木齊）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點M，MN⊥AC于點N．
（1）求證：MN是⊙O的切線；
（2）若∠BAC=120°，AB=2，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）有切點，需連半徑，證明垂直，即可；
（2）求陰影部分的面積要把它轉(zhuǎn)化成S_梯形ANMO-S_扇形OAM，再分別求的這兩部分的面積求解．
解答：（1）證明：連接OM．
∵OM=OB，
∴∠B=∠OMB．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∴∠OMB=∠C．
∴OM∥AC．
∵MN⊥AC，
∴OM⊥MN．
∵點M在⊙O上，
∴MN是⊙O的切線．（5分）

（2）解：連接AM．
∵AB為直徑，點M在⊙O上，
∴∠AMB=90°．
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°．
∴∠AOM=60°．
又∵在Rt△AMC中，MN⊥AC于點N，
∴∠AMN=30°．
∴AN=AM•sin∠AMN=AC•sin30°•sin30°=．
∴MN=AM•cos∠AMN=AC•sin30°•cos30°=．  （8分）
∴S_梯形ANMO=，
S_扇形OAM=，
∴S_陰影==-．    （11分）
點評：本題考查的是切線的判定即利用圖形分割法求不規(guī)則圖形面積的思路．