Question

（2013年四川南充8分）如圖，二次函數(shù)y=x²+bx－3b+3的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），交y軸于點(diǎn)C，且經(jīng)過點(diǎn)（b－2，2b²－5b－1）.

（1）求這條拋物線的解析式；

（2）⊙M過A、B、C三點(diǎn)，交y軸于另一點(diǎn)D，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）連接AM、DM，將∠AMD繞點(diǎn)M順時針旋轉(zhuǎn)，兩邊MA、MD與x軸、y軸分別交于點(diǎn)E、F，若△DMF為等腰三角形，求點(diǎn)E的坐標(biāo).

 

Answer 1

【答案】

解：（1）把點(diǎn)（b－2，2b²－5b－1）代入y=x²+bx－3b+3，得

2b²－5b－1=（b－2）²+b（b－2）－3b+3， 解得b=2。

∴拋物線的解析式為y=x²+2x－3。

（2）由x²+2x－3=0，得x=－3或x=1�！郃（－3，0）、B（1，0）。

由x=0得y=－3，∴（0，－3）。

∵拋物線的對稱軸是直線x=－1，圓心M在直線x=－1上，

∴設(shè)M（－1，n），作MG⊥x軸于G，MH⊥y軸于H，連接MC、MB。

∴MH=1，BG=2。

∵M(jìn)B=MC，∴BG²+MG²=MH²+CH²，

即4+n²=1+（3+n）²，解得n=－1�！帱c(diǎn)M（－1，－1）。

（3）如圖，由M（－1，－1），得MG=MH。

∵M(jìn)A=MD，∴Rt△AMG≌RtDMH�！唷�1=∠2。

由旋轉(zhuǎn)可知∠3=∠4， ∴△AME≌△DMF。

若△DMF為等腰三角形，則△AME為等腰三角形。  

設(shè)E（x，0），△AME為等腰三角形，分三種情況：

①AE=AM=，則x=－3，∴E（－3，0）。

②∵M(jìn)在AB的垂直平分線上，∴MA=ME=MB，∴E（1，0）。      

③點(diǎn)E在AM的垂直平分線上，則AE=ME，

AE=x+3，ME²=MG²+EG²=1+（－1－x）²，

∴（x+3）²=1+（－1－x）²，解得x=，∴E（，0）。

∴所求點(diǎn)E的坐標(biāo)為（－3，0），（1，0），（，0）。

【解析】（1）將點(diǎn)（b－2，2b²－5b－1）代入拋物線解析式，求出未知數(shù)，從而得到拋物線的解析式。

（2）利用垂徑定理及勾股定理，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)。

（3）首先，證明△AME≌△DMF，從而將“△DMF為等腰三角形”的問題，轉(zhuǎn)化為“△AME為等腰三角形”的問題；其次，△AME為等腰三角形，可能有三種情形，需要分類討論，逐一解析計算。

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題，旋轉(zhuǎn)問題，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，垂徑定理，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，分類思想的應(yīng)用。