Question

2．如圖，已知菱形ABCD對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)O，AE⊥CD于E，AE=OD，則∠CAE=30°．

Answer 1

分析 由四邊形ABCD為菱形，得到對(duì)角線(xiàn)互相垂直，進(jìn)而得到一對(duì)直角相等，再由對(duì)頂角相等，得到三角形AFO與三角形DFE相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)角相等得到一對(duì)角相等，利用ASA得到三角形AEC與三角形DOC全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到AC=CD，進(jìn)而確定出三角形ACD為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)及三線(xiàn)合一性質(zhì)即可求出所求角的度數(shù)．

解答 解：∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，AD=DC，
∵AE⊥CD，
∴∠AEC=∠DOC=90°，
∵∠AOD=∠AED=90°，∠AFO=∠DFE，
∴△AFO∽△DFE，
∴∠CAE=∠CDO，
在△AEC和△DOC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAE=∠CDO}\\{AE=OD}\\{∠AEC=∠DOC}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△DOC（ASA），
∴AC=CD，
∴AC=CD=AD，即△ACD為等邊三角形，
∵AE⊥CD，
∴AE為∠CAD的平分線(xiàn)，
則∠CAE=30°．
故答案為：30°．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．