Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，y軸是邊長(zhǎng)為2的等邊△BAD的對(duì)稱軸，x軸是等腰△BDC的對(duì)稱軸．
（1）試求出經(jīng)過點(diǎn)A、點(diǎn)B，且對(duì)稱軸為直線x=1的拋物線的解析式；
（2）把△BDC沿著直線BD翻折后，得到△BDC'．
①問點(diǎn)C'是否在（1）中的拋物線上？
②設(shè)BC'交直線x=1于點(diǎn)Q．若點(diǎn)P是（1）中的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PT⊥直線x=1，垂足為T，問：在拋物線上是否存在著點(diǎn)P，使得以P、T、Q為頂點(diǎn)的三角形與△QDC'相似？若存在，寫出所有符合上述條件的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析：（1）先求出AB兩點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合拋物線的對(duì)稱軸便可求出拋物線的解析式；
（2）①先求出C′點(diǎn)坐標(biāo)，將C′點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式，即可求得C′在拋物線上；
②仔細(xì)閱讀題意結(jié)合圖象便可發(fā)現(xiàn)存在點(diǎn)P使得△QDC′∽△PTQ，有四個(gè)符合條件的點(diǎn)P．

解答：解：（1）由題意可知A（-1，0）B（0，

3

），
拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，則拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（3，0）
將三點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax²+bx+c得

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c= 3

，
解得

a=-  3 3 b= 2 3 3 c= 3

，
故拋物線的解析式為y=-

3

3

x2+

2 3

3

x+

3

；

（2）①BD=

OB2+OD2

=2，
∵△BCD為等腰三角形，
∴CD=BD=2，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-

3

），
把△BDC沿著直線BD翻折后，得到△BDC′．
可求得點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（3，0），
代入拋物線解析式y=-

3

3

x2+

2 3

3

x+

3

符合，
即點(diǎn)C'在拋物線上．
②存在．共有4個(gè)點(diǎn)，
它們的橫坐標(biāo)分別是：-1，2，

-1+ 17

2

，

-1- 17

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的公式的求法和等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，是各地中考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，解題時(shí)注意數(shù)形結(jié)合和分類討論等數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，同學(xué)們要加強(qiáng)訓(xùn)練，屬于中檔題．