Question

13．如圖，在菱形ABCD中，邊長(zhǎng)為1，∠A=60°，順次連結(jié)菱形ABCD各邊中點(diǎn)，可得四邊形A₁B₁C₁D₁；順次連結(jié)四邊形A₁B₁C₁D₁各邊中點(diǎn)，可得四邊形A₂B₂C₂D₂；順次連結(jié)四邊形A₂B₂C₂D₂各邊中點(diǎn)，可得四邊形A₃B₃C₃D₃；按此規(guī)律繼續(xù)下去…，則四邊形A₂₀₁₆B₂₀₁₆C₂₀₁₆D₂₀₁₆的面積是$\frac{\sqrt{3}}{{2}^{2017}}$．

Answer 1

分析 首先利用已知數(shù)據(jù)求出菱形ABCD的面積，易得四邊形A₂B₂C₂D₂的面積等于矩形A₁B₁C₁D₁的面積的$\frac{1}{2}$，同理可得四邊形A₃B₃C₃D₃的面積等于四邊形A₂B₂C₂D₂的面積$\frac{1}{2}$，那么等于矩形A₁B₁C₁D₁的面積的（$\frac{1}{2}$）²，同理可得四邊形A₂₀₁₆B₂₀₁₆C₂₀₁₆D₂₀₁₆的面積．

解答 解：如圖，連接AC、BD．則AC⊥BD．
∵菱形ABCD中，邊長(zhǎng)為1，∠A=60°，
∴S_菱形ABCD=$\frac{1}{2}$AC•BD=1×1×sin60°=$\sqrt{3}$
∵順次連結(jié)菱形ABCD各邊中點(diǎn)，可得四邊形A₁B₁C₁D₁，
易證四邊形A₁B₁C₁D₁ 是矩形，
S_{矩形A1B1C1D1}=$\frac{1}{2}$C•$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{4}$AC•BD=$\frac{1}{2}$S_菱形ABCD．
同理，S四邊形A2B2C2D2=$\frac{1}{2}$S矩形A1B1C1D1=$\frac{1}{2}$S_菱形ABCD，
S矩形A3B3C3D3=（$\frac{1}{2}$）³S_菱形ABCD．
四邊形A₂₀₁₆B₂₀₁₆C₂₀₁₆D₂₀₁₆的面積是=$\frac{1}{{2}^{2017}}$S_菱形ABCD=$\frac{\sqrt{3}}{{2}^{2017}}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{{2}^{2017}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形以及中點(diǎn)四邊形的性質(zhì)．找到中點(diǎn)四邊形的面積與原四邊形的面積之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．