Question

已知四邊形ABCD兩條對(duì)角線互相垂直，點(diǎn)O是對(duì)角線的交點(diǎn)，∠ACD=60°，∠ABD=45°，點(diǎn)A到CD的距離是6，點(diǎn)D到AB的距離是8，求四邊形ABCD的面積S．

Answer 1

分析：過(guò)點(diǎn)A作CD的垂線，過(guò)點(diǎn)D作AB的垂線，取AC的中點(diǎn)G，連接EG，證出等邊△CGE和等腰直角△BFD，根據(jù)勾股定理求出AC和DB的長(zhǎng)度，利用面積公式即可求出四邊形ABCD的面積．

解答：解：過(guò)點(diǎn)A作CD的垂線，E是垂足，過(guò)點(diǎn)D作AB的垂線，F(xiàn)是垂足，取AC的中點(diǎn)G，連接EG，
在Rt△ACE中，∠AEC=90°，
∴CG=GE，
又∵∠ACD=60°，
∴△GCE是等邊三角形，
∴CE=CG=

1

2

AC，
由勾股定理，得AC²=CE²+AE²，
∴AC2=(

1

2

AC)2+62，
解得：AC=4

3

，
∵∠DFB=90°，∠ABD=45°，
∴∠FBD=∠FDB
∴△FBD是等腰直角三角形，
∴BD=

2

DF=8

2

．
∴四邊形ABCD的面積S=S_△ABD+S_△BCD，
=

1

2

BD•AO+

1

2

BD•CO，
=

1

2

BD(AO+CO)=

1

2

BD•AC，
=

1

2

×8

2

×4

3

=16

6

．
答：四邊形ABCD的面積S是16

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了面積與等積變換，等邊三角形的性質(zhì)和判定，含30°角的直角三角形，勾股定理，等腰直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，正確作輔助線求出AC和BD的長(zhǎng)是解此題的關(guān)鍵．