Question

16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（2，0），連結(jié)AB，點(diǎn)P是線(xiàn)段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包括兩端點(diǎn)），直線(xiàn)y=-x上有一動(dòng)點(diǎn)Q，連結(jié)OP，PQ，已知△OPQ的面積為$\sqrt{2}$，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$）或（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．．

Answer 1

分析 方法一：由A、B點(diǎn)的坐標(biāo)可得出直線(xiàn)AB的解析式，從而發(fā)現(xiàn)直線(xiàn)AB與直線(xiàn)OQ平行，由平行線(xiàn)間距離處處相等，可先求出點(diǎn)O到直線(xiàn)AB的距離，結(jié)合三角形面積公式求出線(xiàn)段OQ的長(zhǎng)度，再依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可得出結(jié)論．
方法二：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，根據(jù)三角形的面積可求出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)，再根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；同理可求出當(dāng)點(diǎn)P與B重合時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)．綜上即可得出結(jié)論．

解答 解：方法一：∵點(diǎn)Q在直線(xiàn)y=-x上，
∴設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，-m）．
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（2，0），
∴△AOB為等腰直角三角形，
點(diǎn)O（0，0）到AB的距離h=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OA=$\sqrt{2}$．
設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為y=kx+b，
∵點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)B（2，0）在直線(xiàn)AB上，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{2=b}\\{0=2k+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$．
即直線(xiàn)AB的解析式為y=-x+2，
∵直線(xiàn)y=-x+2與y=-x平行，
∴點(diǎn)P到底OQ的距離為$\sqrt{2}$（平行線(xiàn)間距離處處相等）．
∵△OPQ的面積S_△OPQ=$\frac{1}{2}$OQ•h=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OQ=$\sqrt{2}$，
∴OQ=2．
由兩點(diǎn)間的距離公式可知OQ=$\sqrt{（m-0）^{2}+（-m-0）^{2}}$=2，
解得：m=±$\sqrt{2}$，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$）或（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．
故答案為：（$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$）或（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．
方法二：當(dāng)P點(diǎn)與A重合時(shí)，則△OPQ底OP為2，
∵△OPQ的面積為$\sqrt{2}$，
∴△OPQ的高為$\sqrt{2}$，即點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為-$\sqrt{2}$，
∵點(diǎn)Q在直線(xiàn)y=-x上，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）；
當(dāng)P點(diǎn)與B重合時(shí)，同理可求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$）．
綜上即可得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$）或（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、平行線(xiàn)的性質(zhì)、三角形的面積公式以及兩點(diǎn)間的距離公式，解題的關(guān)鍵是求出線(xiàn)段OQ=2．本題屬于中檔題，難度不大，只要找出直線(xiàn)AB與直線(xiàn)OQ平行即能得出底邊OQ上的高的長(zhǎng)度，再結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式找出結(jié)論．解決該類(lèi)題型，要首先想到由點(diǎn)到距離的公式求出三角形的高．