Question

5．如圖，扇形AOB的半徑為4，∠AOB=90°，O₁是以O(shè)B為直徑的半圓的圓心，⊙O₂與$\widehat{AB}$、半圓O₁、OA分別相切于點(diǎn)C、D、E，求⊙O₂的半徑．

Answer 1

分析 連接OC、O₁ O₂、O₂ E，作O₂ M⊥OB于M，由相切兩圓的性質(zhì)得OC經(jīng)過(guò)點(diǎn)O₂，O₁ O₂經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，設(shè)⊙O₂的半徑為x，則OM=EO₂=x，O₁ M=2-x，OO₂=4-x，O₁ O₂=x+2，由勾股定理得出方程，解方程即可求得．

解答 解：連接OC、O₁ O₂、O₂ E，作O₂ M⊥OB于M，如圖所示：
則OC經(jīng)過(guò)點(diǎn)O₂，O₁ O₂經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，∠O₂ MO=∠O₂ MO₁=90°，
設(shè)⊙O₂的半徑為x，
則OM=EO₂=x，O₁ M=2-x，OO₂=4-x，O₁ O₂=x+2，
由勾股定理得：O₂ M²=OO₂ ²-OM²=O₁ O₂ ²-O₁ M²，
即（4-x）²-x²=（x+2）²-（2-x）²，
解得：x=1，
即⊙O₂的半徑為1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相切兩圓的性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握相切兩圓的性質(zhì)，運(yùn)用勾股定理得出方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．