Question

市場上銷售的水果禮盒的底盒（如照片2所示），是用一種邊長分別為50cm和150cm的矩形紙板按如圖1中的裁法做成的無蓋紙盒，每張紙板裁出如圖2的兩只紙盒（接縫忽略不計）．要求紙盒的高不超過寬的，但不能小于5cm．


（1）若要使寬為30cm，則高應為多少？
（2）要使盒子的體積為10000cm³，求此時盒子的高；
（3）為了使盒子的體積盡可能的大，應如何設計裁法？

Answer 1

【答案】分析：（1）設高為xcm，則寬為（50-2x）cm，求出x的取值范圍，然后求出高，
（2）根據(jù)長方體的體積公式求出x，
（3）寫出V與x的函數(shù)關系式，求出最大值時的x．
解答：解：設高為xcm，則寬為（50-2x）cm，
則長為cm（1分）
∵．
即x≤10，
又∵x≥5
∴5≤x≤10（2分）
（1）50-2x=30，∴x=10，即高為10cm（3分）

（2）（50-2x）•x•50=10000（4分）
整理，得x²-25x+100=0．（5分）
解得：x₁=5，x₂=20（不合題意，舍去）
要使體積為10000cm³，應高為5cm；（6分）

（3）V=（50-2x）•x•50
=-100x²+2500x
=7．（5分）
∵5≤x≤10
∴當x=10時V_最大=15000cm³
∴要使體積盡可能大，應取高為10cm，寬為30cm，長為50cm．（9分）
點評：本題主要考查二次函數(shù)的應用，寫出V與x的函數(shù)關系式是答題的關鍵，應用二次函數(shù)解決實際問題比較簡單．