Question

如圖1，已知正方形OABC的邊長(zhǎng)為2，頂點(diǎn)A、C分別在x、y軸的正半軸上，M是BC的中點(diǎn)．P（0，m）是線段OC上一動(dòng)點(diǎn)（C點(diǎn)除外），直線PM交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；
（2）當(dāng)△APD是等腰三角形時(shí)，求m的值；
（3）設(shè)過P、M、B三點(diǎn)的拋物線與x軸正半軸交于點(diǎn)E，過點(diǎn)O作直線ME的垂線，垂足為H（如圖2），當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)H也隨之運(yùn)動(dòng)．請(qǐng)直接寫出點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)．（不必寫解答過程）

Answer 1

分析：（1）證明Rt△PMC≌Rt△DMB，即可證明DB=2-m，AD=4-m，從而求解；
（2）分AP=AD，PD=PA，PD=DA三種情況，根據(jù)勾股定理即可求解；
（3）運(yùn)動(dòng)時(shí)，路線長(zhǎng)不變，可以取當(dāng)P在O點(diǎn)時(shí)，求解即可．

解答：解：（1）由題意得CM=BM，
∵∠PMC=∠DMB，
∴Rt△PMC≌Rt△DMB，
∴DB=PC，
∴DB=2-m，AD=4-m，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，4-m）．

（2）分三種情況
①若AP=AD，則4+m²=（4-m）²，解得m=

3

2

；
②若PD=PA
過P作PF⊥AB于點(diǎn)F（如圖），
則AF=FD=

1

2

AD=

1

2

（4-m）
又∵OP=AF，
∴m=

1

2

(4-m)
則m=

4

3

③若PD=DA，
∵△PMC≌△DMB，
∴PM=

1

2

PD=

1

2

AD=

1

2

（4-m），
∵PC²+CM²=PM²，
∴(2-m)2+1=

1

4

(4-m)2，
解得m1=

2

3

，m2=2（舍去）．
綜上所述，當(dāng)△APD是等腰三角形時(shí)，m的值為

3

2

或

4

3

或

2

3

．

（3）點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為

5

4

π
理由是：∵P（0，m）是線段OC上一動(dòng)點(diǎn)（C點(diǎn)除外），
∴0≤m＜2，
當(dāng)O與P重合時(shí)，P點(diǎn)才開始運(yùn)動(dòng)，過P、M、B三點(diǎn)的拋物線y=-x²+3x，
此時(shí)ME的解析式為y=-x+3，則∠MEO=45°，
又∵OH⊥EM，
∴△OHE為等腰直角三角形，
∴點(diǎn)O、H、B三點(diǎn)共線，
∴點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑以O(shè)M為直徑的劣弧

HMC

的長(zhǎng)度，
∵∠COH=45°，OM=

5

，
則弧長(zhǎng)=

nπr

180

=

5

4

π．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)公式和三角形的面積求法．在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．