Question

如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，∠BCD的平分線CF交邊AB于F，∠ADC的平分線DG交邊AB于G。

（1）求證：AF=GB；

（2）請你在已知條件的基礎(chǔ)上再添加一個條件，使得△EFG為等腰直角三角形，并說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）由角平分線知∠ADG=∠CDG，由平行知∠CDG=∠AGD所以，∠ADG=∠AGD，即AD=AG，同理BF=BC，又AD=BC，所以AG=BF，去掉公共部分，則有AF=GB；（2）EF＝EG

【解析】

試題分析：（1）由角平分線知∠ADG=∠CDG，由平行知∠CDG=∠AGD所以，∠ADG=∠AGD，即AD=AG，同理BF=BC，又AD=BC，所以AG=BF，去掉公共部分，則有AF=GB；

（2）由于DG、CF是平行四邊形一組鄰角的平分線，所以△EFG已經(jīng)是直角三角形了，要成為等腰直角三角形，則必須有EF=EG或者∠EFG=∠EGF即可．

（1）∵四邊形ABCD為平行四邊形

∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC，

∴∠AGD＝∠CDG，∠DCF＝∠BFC.

∵DG、CF分別平分∠ADC和∠BCD,

∴∠CDG＝∠ADG，∠DCF＝∠BCF.

∴∠ADG＝∠AGD，∠BFC＝∠BCF.

∴AD＝AG，BF＝BC.

∴AG＝BF，即AG-FG＝BF-FG

∴AF＝BG；

（2）∵AD∥BC

∴∠ADC＋∠BCD＝180°.

∵DG、CF分別平分∠ADC和∠BCD,

∴∠EDC＋∠ECD＝90°.

∴∠DEC＝90°.

∴∠FEG＝90°.

因此我們只要保證添加的條件使得EF＝EG就可以了。

我們也可以添加∠GFE＝∠FGD，四邊形ABCD為矩形，DG＝CF等等.

考點：平行四邊形的基本性質(zhì)，直角三角形的判定，角平分線的性質(zhì)

點評：平行四邊形的判定和性質(zhì)是初中數(shù)學(xué)的重點，貫穿于整個初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，是中考中比較常見的知識點，一般難度不大，需熟練掌握.