Question

下圖①是邊長分別為4和3的兩個(gè)等邊三角形紙片ABC和疊放在一起(C與重合)．

(1)操作：固定△ABC，將△繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到△CDE，連接AD、BE，CE的延長線交AB于點(diǎn)F(如圖②)．

探究：在圖②中，線段BE與AD之間有怎樣的大小關(guān)系？試證明你的結(jié)論．

(2)操作：將圖②中的△CDE，在線段CF上沿著CF方向以每秒1個(gè)單位的速度平移，CF為∠ACB的平分線，平移后的△CDE設(shè)為△PQR(如圖③)．

探究：設(shè)△PQR移動(dòng)的時(shí)間為xs，△PQR與△AFC重疊部分的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)自變量x的取值范圍．

(3)操作：將圖①中△固定，將△ABC移動(dòng)，使頂點(diǎn)C落在的中點(diǎn)，邊BC交于點(diǎn)M，邊AC交于點(diǎn)N，設(shè)∠AC＝α(30°＜α＜90°)(如圖④)．

探究：在圖④中，線段N·M的值是否隨α的變化而變化？如果沒有變化，請求出N·M的值；如果有變化，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

分析：本題是操作、探究結(jié)論型開放題．解題時(shí)抓住△ABC和△CDE都是等邊三角形，各個(gè)角都是60°這一特征，同時(shí)注意圖形運(yùn)動(dòng)的過程，“化動(dòng)為靜”，“以靜制動(dòng)”． 　　解：(1)BE＝AD． 　　證明：因?yàn)椤鰽BC與△DCE都是等邊三角形， 　　所以∠ACB＝∠DCE＝60°，CA＝CB，CE＝CD． 　　又∠BCE＝30°，則∠BCE＝∠ACD＝30°． 　　所以△BCE≌△ACD． 　　所以BE＝AD．(也可用旋轉(zhuǎn)方法證明BE＝AD) 　　(2)如圖，在△CQT中， 　　因?yàn)椤蟃CQ＝30°，∠PQT＝60°，所以∠QTC＝30°． 　　所以∠QTC＝∠TCQ．所以QT＝QC＝x，即RT＝3－x． 　　因?yàn)椤蟁TS＋∠R＝90°， 　　所以∠RST＝90°． 　　所以y＝S△PQR－SRt△RST＝×32－×(3－x)2(0≤x≤3)． 　　(3)N·M的值不變． 　　證明：因?yàn)椤螦CB＝60°， 　　所以∠MC＋∠NC＝120°． 　　因?yàn)椤螩N十∠NC＝120°， 　　所以∠MC＝∠CN． 　　因?yàn)椤?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/30ZB/BSD9/0002/d29e2a05f4f19b6fcd57fd8658af12a3/C/Image19.gif" width=18 height=17>＝∠，則△MC∽△CN． 　　所以＝． 　　即N·M＝C·C＝×＝．