Question

如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD⊥DC，BC=10cm，CD=6cm．在線段BC、CD上有動點F、E，點F以每秒2cm的速度，在線段BC上從點B向點C勻速運動；同時點E以每秒1cm的速度，在線段CD上從點C向點D勻速運動．當(dāng)點F到達點C時，點E同時停止運動，設(shè)點F運動的時間為t（秒）．
（1）求AD的長；
（2）設(shè)四邊形BFED的面積為y，求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式并寫出自變量的取值范圍；
（3）當(dāng)t為何值時，以EF為半徑的⊙F與CD邊只有一個公共點．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）求AD的邊長，可利用勾股定理或三角函數(shù)解直角三角形ABD，也可以利用三角形相似邊長成比例求得．由題目已知部分邊長，推理求解容易得AD長；
（2）動點問題關(guān)鍵找不動的量，觀察發(fā)現(xiàn)四邊形BFED運動過程中，面積始終等于三角形BDC的面積與三角形CEF面積的差，所以利用此關(guān)系用t表示三角形CEF的面積，又三角形BDC面積固定，則y易表示；
（3）圓與直線只有一個公共點，即圓與直線相切，此時半徑等于圓心到直線的距離．由EF為圓的半徑，又點E在CD上，那么此時EF⊥CD．由此可以進一步推導(dǎo)t的值．但是仔細審題，題中要求的是⊙F與CD邊只有一個公共點，邊CD與直線CD不相同，所以還要進一步考慮其他情形．

解答：解：（1）在Rt△BCD中，
∵CD=6cm，BC=10cm，
∴BD=8cm．
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD．
∵cos∠CBD=

BD

BC

=

4

5

，
∴cos∠ADB=

4

5

=

AD

BD

=

AD

8

，
∴AD=

32

5

（cm）．

（2）如圖，過點E作EH⊥AB，垂足為H．
在Rt△CEH中，
∵CE=t，sin∠C=

BD

BC

=

4

5

，
∴CF邊上的高EH=CE•sin∠C=

4

5

t，
∴S△CEF=

1

2

CF•EH=

1

2

(10-2t)×

4

5

t=-

4

5

t2+4t，
∵S△BCD=

1

2

BD•CD=24，
∴y=S△BCD-S△CEF=24-(-

4

5

t2+4t)=

4

5

t2-4t+24（0≤t≤5）．

（3）①如圖1，當(dāng)⊙F經(jīng)過點D，此時⊙F與邊CD有兩個交點，
過點D作DH⊥BC，EK⊥BC，連接DF，EF，則有DF=EF．
在Rt△BDC中，
∵cos∠C=

CD

BC

=

3

5

，sin∠C=

4

5

，
∴HC=cos∠C•CD=

3

5

•6=

18

5

，DH=sin∠C•CD=

24

5

．
∵BF=2t，CE=t，
∴FH=BC-BF-HC=10-t-

18

5

=

32

5

-T，
KC=cos∠C•EC=

3

5

t，EK=sin∠C•EC=

4

5

t，
∴FK=BC-BF-KC=10-2t-

3

5

t=10-

13

5

t．
在Rt△DFH和Rt△EFK中，
∵DF=EF，
∴FK²+EK²=DH²+FH² ，
∴(10-

13

5

t)2+(

4

5

t)2=(

24

5

)2+(

32

5

-t)2，
解得：t=

30

17

（負值舍去），
即當(dāng)0≤t＜

30

17

時，⊙F與邊CD只有一個交點．

②如圖2，當(dāng)EF等于F點到CD距離時，CD與⊙F相切，只有一個交點，此時EF⊥CD．
∵BF=2t，CE=t，
∴CF=10-2t，
∴

EC

CF

=

t

10-2t

=cos∠C=

3

5

，
∴t=

30

11

，
即當(dāng)t=

30

11

時，⊙F與邊CD只有一個交點．

③如圖3，當(dāng)⊙F經(jīng)過點C，此時⊙F與邊CD有兩個交點．
過點F作FM⊥EC，
∵FC=FE，
∴EM=MC=

1

2

EC．
∵BF=2t，CE=t，
∴FC=10-2t，CM=

1

2

t，
∴

CM

FC

=

1 2 t

10-2t

=cos∠C=

3

5

，
∴t=

60

17

，
即當(dāng)

60

17

＜t≤5時，⊙F與邊CD只有一個交點．
綜上所述，當(dāng)0≤t＜

30

17

，t=

30

11

，

60

17

＜t≤5時，⊙F與邊CD只有一個交點．

點評：本題考查的是直角三角形的相關(guān)性質(zhì)，如果熟練掌握三角函數(shù)知識解決問題會方便很多．對于類似第二問的動點問題，要注重尋找圖形移動過程中的不變關(guān)系，往往這是解決問題的關(guān)鍵．第三問初看問題不難，但仔細審題會發(fā)現(xiàn)題目要求的是圓與邊的交點，而非圓與直線的交點，討論中反復(fù)利用三角函數(shù)等知識，是一道難度較高的題目．