Question

【題目】如圖，在△ABC中，BE是它的角平分線，∠C=90°，D在AB邊上，以DB為直徑的半圓O經(jīng)過點E，交BC于點F．

（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）已知sinA= ，⊙O的半徑為4，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】
（1）

解：連接OE．

∵OB=OE

∴∠OBE=∠OEB

∵BE是∠ABC的角平分線

∴∠OBE=∠EBC

∴∠OEB=∠EBC

∴OE∥BC

∵∠C=90°

∴∠AEO=∠C=90°

∴AC是⊙O的切線

（2）

解：連接OF．

∵sinA= ，∴∠A=30°

∵⊙O的半徑為4，∴AO=2OE=8，

∴AE=4 ，∠AOE=60°，∴AB=12，

∴BC= AB=6，AC=6 ，

∴CE=AC﹣AE=2 ．

∵OB=OF，∠ABC=60°，

∴△OBF是正三角形．

∴∠FOB=60°，CF=6﹣4=2，∴∠EOF=60°．

∴S梯形OECF= （2+4）×2 =6 ．

S扇形EOF= =

∴S陰影部分=S梯形OECF﹣S扇形EOF=6 ﹣

【解析】（1）連接OE．根據(jù)OB=OE得到∠OBE=∠OEB，然后再根據(jù)BE是△ABC的角平分線得到∠OEB=∠EBC，從而判定OE∥BC，最后根據(jù)∠C=90°得到∠AEO=∠C=90°證得結論AC是⊙O的切線． （2）連接OF，利用S陰影部分=S梯形OECF﹣S扇形EOF求解即可．