Question

6．如圖，在矩形ABCD中，AD=5，AB=8，點(diǎn)E為DC邊上的一個動點(diǎn)，把△ADE沿AE折疊，當(dāng)點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)剛好D落在矩形ABCD的對稱軸上時，則DE的長為$\frac{5}{2}$或$\frac{5\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 過點(diǎn)D′作MN⊥AB于點(diǎn)N，MN交CD于點(diǎn)M，由矩形有兩條對稱軸可知要分兩種情況考慮，根據(jù)對稱軸的性質(zhì)以及折疊的特性可找出各邊的關(guān)系，在直角△EMD′與△AND′中，利用勾股定理可得出關(guān)于DM長度的一元二次方程，解方程即可得出結(jié)論．

解答 解：過點(diǎn)D′作MN⊥AB于點(diǎn)N，MN交CD于點(diǎn)M，如圖1所示．

設(shè)DE=a，則D′E=a．
∵矩形ABCD有兩條對稱軸，
∴分兩種情況考慮：
①當(dāng)DM=CM時，
AN=DM=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$AB=4，AD=AD′=5，
由勾股定理可知：
ND′=$\sqrt{AD{′}^{2}-A{N}^{2}}$=3，
∴MD′=MN-ND′=AD-ND′=2，EM=DM-DE=4-a，
∵ED′²=EM²+MD′²，即a²=（4-a）²+4，
解得：a=$\frac{5}{2}$；
②當(dāng)MD′=ND′時，
MD′=ND′=$\frac{1}{2}$MN=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{5}{2}$，
由勾股定理可知：
AN=$\sqrt{AD{′}^{2}-ND{′}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∴EM=DM-DE=AN-DE=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$-a，
∵ED′²=EM²+MD′²，即${a}^{2}=（\frac{5\sqrt{3}}{2}-a）^{2}+（\frac{5}{2}）^{2}$，
解得：a=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$．
綜上知：DE=$\frac{5}{2}$或$\frac{5\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{5}{2}$或$\frac{5\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了翻轉(zhuǎn)變換、軸對稱的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是找出關(guān)于DM長度的一元二次方程．本題屬于中檔題，難度不大，但在做題過程中容易丟失一種情況，解決該題型題目時，結(jié)合勾股定理列出方程是關(guān)鍵．